Bestimmen von Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Fr 01.02.2008 | | Autor: | matze21 |
Hallöchen alle zusammen!
habe bald Prüfungen und übe grad wie wild. Und soll bei folgendem Bsp. A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 6 \\ 0 & -2 & 3 \\ 0 & 2 & -3 }die [/mm] Eigenwerte bestimmen und überprüfen ob v=(-1,-1,1) Eigenvektor von A ist.
Die Eigentwerte habe berechnet: [mm] \lambda1= [/mm] 1; [mm] \lambda2= [/mm] 0; [mm] \lambda3= [/mm] 5
Ist das soweit richtig?
Mir fehlt jetzt der Schritt oder die Erklärung wie man Eigenvektoren errechnet,damit ich weiter machen kann, denn die Erklärungen aus Büchern will mein Hirn nicht verstehen
Vielen Dank schon mal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Hallöchen alle zusammen!
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> habe bald Prüfungen und übe grad wie wild. Und soll bei
> folgendem Bsp. A= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 6 \\ 0 & -2 & 3 \\ 0 & 2 & -3 }die[/mm]
> Eigenwerte bestimmen und überprüfen ob v=(-1,-1,1)
> Eigenvektor von A ist.
> Die Eigentwerte habe berechnet: [mm]\lambda1=[/mm] 1; [mm]\lambda2=[/mm] 0;
> [mm]\lambda3=[/mm] 5
> Ist das soweit richtig?
Ja, die Eigenwerte stimmen.
> Mir fehlt jetzt der Schritt oder die Erklärung wie man
> Eigenvektoren errechnet,damit ich weiter machen kann, denn
> die Erklärungen aus Büchern will mein Hirn nicht verstehen
Zur Bestimmung der Eigenvektoren habe ich immer das folgende Gleichungssystem geloest:
[mm]\left (A-\lambda I \right ) e_{1\lambda}=0[/mm]
Kommen Eigenwerte öfters als einmal vor, so habe ich die Eigenvektoren 2. Stufe bestimmt, in dem ich ein analoges Gleichungssystem geloest habe:
[mm]\left (A-\lambda I \right )^2 e_{2\lambda}=0[/mm]
Dies ist letztendlich äquivalent mit [mm]\left (A-\lambda I \right ) e_{2\lambda}=e_{1\lambda}[/mm]
Dieses Spielchen kann man beliebig oft treiben, so daß sich dann fuer einen Eigenvektor n-ter Stufe das folgende Gleichungssystem ergibt:
[mm]\left (A-\lambda I \right ) e_{n\lambda}=e_{{\left (n-1 \right )}\lambda}[/mm]
> Vielen Dank schon mal
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Fr 01.02.2008 | | Autor: | vwxyz |
Die Eigenwerte sind nicht korrekt
Die folgende Matrix A lautet:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 6\\ 0 & -2 & 3 \\ 0 & 2 & -3}
[/mm]
Für Die Eigenwerte muss jetzt:
[mm] A-\lambda*E [/mm] berechnet werden
Daraus folgt:
[mm] \pmat{ 1-\lambda & 0 & 6\\ 0 & -2-\lambda & 3 \\ 0 & 2 & -3-\lambda}
[/mm]
Nun muss daraus die Determinate berechnet werden.
Mit der Regl von Sarrus ergibt sich:
[mm] (1-\lambda)(-2-\lambda)(-3-\lambda)+0*3*0+6*0*2-6*(-2-\lambda)*0-(1-\lambda)*3*2-0*0*(-3-\lambda)= -\lambda^3-4*\lambda^2+5*\lambda
[/mm]
Nun muss man hier die Nullstellen finden:
[mm] -\lambda^3-4*\lambda^2+5*\lambda=0
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = 0 ist eine Nullstelle weil alle Glieder den Faktor [mm] \lambda [/mm] beiinhalten
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] -\lambda^2-4*\lambda+5=0
[/mm]
[mm] \gdw 0=\lambda^2+4*\lambda [/mm] -5
[mm] \gdw 0=\lambda^2+4*\lambda +2^2-2^2-5
[/mm]
[mm] \gdw 0=(\lambda-2)^2-4-5
[/mm]
[mm] \gdw 0=(\lambda-2)^2-9
[/mm]
[mm] \gdw 9=(\lambda-2)^2
[/mm]
[mm] \gdw \pm3=\lambda [/mm] -2
[mm] \gdw \lambda_{1} [/mm] = +3-2=1 und [mm] \lambda_{2} [/mm] = -3-2=-5
Somit sind die Eigenwert 0,1 und -5 und nicht 0,1 und 5
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Fr 01.02.2008 | | Autor: | matze21 |
oh... hast recht. es ist -5
was mich trotzdem noch nicht weiter bringt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Fr 01.02.2008 | | Autor: | matze21 |
Ahja...
So was wie $ [mm] \left (A-\lambda I \right [/mm] ) [mm] e_{2\lambda}=e_{1\lambda} [/mm] $ habe ich auch schon mal gelesen, konnte aber ehrlich gesagt nix damit anfangen. nach dem was da steht würde ich jetzt folgendes schreiben:
[mm] \pmat{ 1 -1 & 0 & 6 \\ 0 & -2-1 & 3 \\ 0 & 2 & -3-1 } e_{2\lambda} =e_{1\lambda} [/mm] . wenn du mir jetzt sagen würdest was [mm] e_{1\lambda} [/mm] ist oder wo man das abliest dann würdest du mir echt weitehelfen.
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Hallo matze,
> Ahja...
> So was wie [mm]\left (A-\lambda I \right ) e_{2\lambda}=e_{1\lambda}[/mm]
> habe ich auch schon mal gelesen, konnte aber ehrlich gesagt
> nix damit anfangen. nach dem was da steht würde ich jetzt
> folgendes schreiben:
> [mm]\pmat{ 1 -1 & 0 & 6 \\ 0 & -2-1 & 3 \\ 0 & 2 & -3-1 } e_{2\lambda} =e_{1\lambda}[/mm]
> . wenn du mir jetzt sagen würdest was [mm]e_{1\lambda}[/mm] ist
> oder wo man das abliest dann würdest du mir echt
> weitehelfen.
Der Eigenvektor [mm]e_{1\lambda}[/mm] ist aus der Gleichung
[mm]\left ( A - \lambda I \right ) e_{1\lambda} = 0 [/mm] bestimmt worden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Fr 01.02.2008 | | Autor: | matze21 |
ganz ehrlich!? ich kann mit deiner Aussage garnichts anfangen
Könntest du mir vieleicht an irgendeinem beispiel zeigen wie man dabei vorgeht(Eigenvektor berechnen), denn mit theorie wird das wahrscheinlich nix bei mir.
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> Könntest du mir vieleicht an irgendeinem beispiel zeigen
> wie man dabei vorgeht(Eigenvektor berechnen), denn mit
> theorie wird das wahrscheinlich nix bei mir.
Hallo,
eine der Ursprungsaufgaben war ja, zu prüfen, ob v=(-1,-1,1) ein Eigenvektor von $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 6 \\ 0 & -2 & 3 \\ 0 & 2 & -3 }ist. [/mm]
Dies ist sehr einfach:
berechne [mm] \pmat{ 1 & 0 & 6 \\ 0 & -2 & 3 \\ 0 & 2 & -3 }*\vektor{-1 \\ -1\\1}.
[/mm]
Wenn ein Vielfaches von [mm] \vektor{-1 \\ -1\\1} [/mm] herauskommt, ist [mm] \vektor{-1 \\ -1\\1} [/mm] ein Eigenvektor.
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Willst Du einen Eigenvektor zum Eigenwert 1 ausrechnen, mußt Du folgendes tun:
subtrahiere auf der Hauptdiagonalen der Matrix den Eigenwert, im konkreten Fall also die 1.
Du erhältst hier
[mm] \pmat{ 1-1 & 0 & 6 \\ 0 & -2-1 & 3 \\ 0 & 2 & -3-1 }=\pmat{ 0 & 0 & 6 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 2 & -4 }.
[/mm]
Den (bzw. machmal auch die) Eigenvektor(en) erhältst Du, indem Du eine Basis des Kerns dieser Matrix bestimmst.
Was gleichbedeutend mit der Lösung des GSs
6z=0
-3y+3z=0
2y-4z=0
ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Fr 01.02.2008 | | Autor: | matze21 |
Ahhh... jetzt kommen wir der Sache schon näher, so versteh ich das. habe aber trotzdem noch Fragen!
1. so wie ich das sehe ist der gegebene Eigenvektor kein vielfaches oder?!
2. ist 6z=0
-3y+3z=0
2y-4z=0 schon der Einheitsvektor? oder muss ich da noch
was basteln? wenn ja wie?
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> 1. so wie ich das sehe ist der gegebene Eigenvektor kein
> vielfaches oder?!
Was hast Du denn ausgerechnet?
> 2. ist 6z=0
> -3y+3z=0
> 2y-4z=0 schon der Einheitsvektor? oder muss ich
> da noch
> was basteln? wenn ja wie?
Ich hoffe, daß Du jetzt Witze machst...
Natürlich ist das nocht der Eigenvektor, denn da ist ja weit und breit kein Eigenvektor zu sehen.
Das ist ein homogenes lineares Gleichungssystem, welches zu lösen ist. Mal in Dorfdeutsch gesprochen: x,y und z mußt Du ausrechen. Natürlich ausrechnen. Dabei über die Dimension des Lösungsraumes nachdenken.
Hast Du doch sicher x-mal in der Schule gemacht, oder?
Wenn die Lösung steht, sehen wir weiter.
Beherrschst Du eigentlich den Gaußalgorithmus? Zeilenstufenform von Matrizen? Damit geht's sehr flink.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:07 Fr 01.02.2008 | | Autor: | matze21 |
naja gehabt haben is relativ ich saß mit 900 anderen im Hörsaal wovon ca. die hälfte so wenig verstanden hat wie ich, da wir einen Stark sächselnden Prof haben der gerne viele schritte auslässt.
1. das ist meine Erweiterung [mm] \pmat{ -1 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & -3 }
[/mm]
der Betonung zufolge nach habe ich da einen groben Denkfehler
2. also gauß und stufenformen kann ich
ich hoffe mal ich steh grad nur auf der Leitung aber wie rechne ich x, y, z aus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 01.02.2008 | | Autor: | matze21 |
habe grad mein Frage 1. selbst beantworten können, ja es ist ein eigenvektor wenn ich es erweitere und zusammenfasse kommt 5, 5, -5 heraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:40 Fr 01.02.2008 | | Autor: | matze21 |
ich glaub es hat grade klick gemacht. habe [mm] \lambda [/mm] = 5 genommen und den Gauß und bin dann auf den Eigenvektor gekommen. Danke nochmal für die geduld
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> ich glaub es hat grade klick gemacht.
Na, man gut, daß ich nicht so schnell war. Es iost doch immer schöner, wenn man es selber findet.
Zur Kontrolle: wenn Du irgendein Vielfaches von [mm] \vektor{1 \\ 0\\0} [/mm] hast, hast Du einen richtigen Eigenvektor gefunden.
( [mm] \vektor{1 \\ 0\\0} [/mm] ist natürlich als EV nicht erlaubt.)
Gruß v. Angela
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Hallo matze,
> Ahhh... jetzt kommen wir der Sache schon näher, so versteh
> ich das. habe aber trotzdem noch Fragen!
> 1. so wie ich das sehe ist der gegebene Eigenvektor kein
> vielfaches oder?!
> 2. ist 6z=0
> -3y+3z=0
> 2y-4z=0 schon der Einheitsvektor? oder muss ich
> da noch
> was basteln? wenn ja wie?
wie ich sehe, willst Du den Eigenvektor zum Eigenwert 1 berechnen.
Es gibt ja noch die dritte Unbekannte in der Gleichung, nämlich x.
Da x frei wählbar ist, wählen wir 1 und erhalten als Eigenvektor zum Eigenwert 1: [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Gruß
MathePower
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