Bestimmen von Basen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Sanne |
Hallo zusammen,
mich hat gerade jemand total verunsichert...
Folgende Aufgabe:
Bestimmen Sie drei Basen von
< [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 3}, \vektor{3 \\ -3 \\ 2}, \vektor{-2 \\ 1 \\ 1}, \vektor{4 \\ -5 \\5}>
[/mm]
Mit Gauss komme ich auf folgendes: (fett dargestellte Zahlen sind Pivot-Elemente, rote die bereits ausgezeichneten)
AS(0)
1 3 -2 4
-2 -3 1 -5
3 2 1 5
NS(0) (bereits gekürzt)
1 3 -2 4
0 1 -1 1
0 -1 1 -1
NS(1) = ES
1 0 1 1
0 1 -1 1
0 0 0 0
Eine Basis müsste ja nun
( [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 1}, \vektor{4 \\ -5 \\5}) [/mm] sein.
Und die anderen beiden Basen, die gefordert sind - können das beliebige Vielfache der gegebenen Basis sein? Oder sind bei solchen Aufgaben "bestimmte" weitere Basen gefragt? Nicht lachen, der Prof äußert sich zu solchen grundlegenden Sachen nicht...
Mal wieder danke,
Gruß
Sanne
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 03:45 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Nam |
Hallo Sanne,
Sorry, die Antwort ist natürlich falsch. Ich hab da vorschnell die Bedeutung von [mm]det(..) = 0[/mm] mit der von [mm]det(..) \not= 0[/mm] verwechselt.
Sorry, damit ist die Verwirrung wohl komplett. Nichts für ungut.
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der letzte Vektor ist z. B. die Summe der ersten beiden, denn:
[mm]\vektor{4 \\ -5 \\5} = \vektor{1 \\ -2 \\ 3} + \vektor{3 \\ -3 \\ 2}[/mm]
Die Menge [mm]\left\{ \vektor{1 \\ -2 \\ 3}, \vektor{3 \\ -3 \\ 2}, \vektor{-2 \\ 1 \\ 1} \right\}[/mm] ist nun linear unabhängig, denn
[mm]\begin{vmatrix}
1 & 3 & -2 \\
-2 & -3 & 1 \\
3 & 2 & 1
\end{vmatrix} = -3 + 9 + 8 - 18 - 2 + 6 = 0[/mm]
Folglich ist [mm]\left\{ \vektor{1 \\ -2 \\ 3}, \vektor{3 \\ -3 \\ 2}, \vektor{-2 \\ 1 \\ 1} \right\}[/mm] eine Basis des angegebenen Raumes.
Deine Basis kann also schonmal nicht stimmen, denn sie müsste drei dimensional sein.
Andere Basen bekommst du z. B. indem du die anderen "Kombinationen" der Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüfst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:52 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Sanne |
...und das nächste Mal besser bei uns beiden nicht um diese Uhrzeit(en) *smile
Kein Problem, sowas kann immer mal passieren!
Ich hab auch noch nen Fehler reingehauen, meinte die ersten beiden Vektoren als Basis und nicht die letzten beiden...
Also nochmal von vorne und vergessen wir meinen Ansatz und deine Antwort (gibts hier keinen großen del-Button? *grins)
"Die Ausgangsvektoren, die in ausgezeichneten Spalten stehen, sind stets linear unabhängig. Sie bilden eine Basis von S = [mm] (\vec{v}_1,...,\vec{v}_m) [/mm] (maximaler Satz linear unabhängiger Vektoren unter den Ausgangsvektoren)"
So steht's in meiner Mitschrift.
Über den GJA (s. Ausgangsfrage) komme ich also dazu, dass
[mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 3}, \vektor{3 \\ -3 \\ 2}, [/mm]
eine Basis sein sollte. Ich lade auch mal noch zwei Seiten aus meiner Mitschrift rauf, die eine Aufgabe zeigen, bei der wir die Basis berechnet haben (zweite Seite).
Der Rest der Frage bleibt aber 
Also a) stimmt die Basis
und b) wie komme ich auf die anderen beiden Basen bzw. welche sind da überhaupt gefragt (beliebige Vielfache? oder irgendwelche bestimmten?)
Gruß,
Sanne
... und nach der Prüfung mach ich 100 Kreuze auf den Kalender, wenn ich den Prof endlich los bin
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Hexe |
Also erstmal ist deine Basis richtig, als weitere Basen würde ich z.B [mm] \vektor{1\\-2\\3} ,\vektor{-2\\1\\1} [/mm] und [mm] \vektor{1\\-2\\3},\vektor{4\\-5\\5} [/mm] vorschlagen oder eine beliebige andere Kombination von 2 der 4 Vektoren. Da das ganze Dimension 2 hat reicht das für eine Basis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Sanne |
Danke Katrin!
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