Bestimmen ganzzahliger Lösung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Di 16.01.2007 | | Autor: | mariposa |
| Aufgabe | | Hat die Gleichung 3x²+5y²-7z²=0 ganzzahlige Lösungen? |
Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung mit welchem Ansatz ich an die Aufgabe herangehe. Kann mir da jemand einen Tipp geben?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Di 16.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hat die Gleichung 3x²+5y²-7z²=0 ganzzahlige Lösungen?
> Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung mit welchem Ansatz
> ich an die Aufgabe herangehe. Kann mir da jemand einen Tipp
> geben?
Ein Ansatz, der hier funktioniert:
Die triviale Loesung $x = y = z = 0$ gibt es immer.
Angenommen, es gibt eine Loesung $(x, y, z) [mm] \in \IZ^3 \setminus \{ 0 \}$. [/mm] Wir fordern, dass $x, y, z$ teilerfremd sind (wenn sie einen gemeinsamen Teiler $d$ haben, kann man ihn weggkuerzen).
Schau dir die Gleichung modulo $3$ an. Dann hst du [mm] $-y^2 [/mm] - [mm] z^2 \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{3}$. [/mm] Dies ist nur loesbar, wenn $y [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \equiv [/mm] z [mm] \pmod{3}$ [/mm] ist (da [mm] $t^2 \equiv [/mm] 0, 1 [mm] \pmod{3}$ [/mm] fuer alle $t [mm] \in \IZ$).
[/mm]
Also gibt es $k, [mm] \ell \in \IZ$ [/mm] mit $y = 3 k$, $z = 3 [mm] \ell$, [/mm] und es gilt $3 [mm] x^2 [/mm] + 5 (3 [mm] k)^2 [/mm] - 7 (3 [mm] \ell)^2 [/mm] = 0$.
Jetzt sind alle Summanden durch 3 teilbar, und kuerzen liefert [mm] $x^2 [/mm] + 5 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] k^2 [/mm] - 7 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \ell^2 [/mm] = 0$.
Wieder modulo 3 betrachtet hat man also [mm] $x^2 \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{3}$, [/mm] womit auch $x [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{3}$ [/mm] sein muss. Aber dann sind $x, y, z$ alle durch 3 teilbar, ein Widerspruch.
Also gibt es nur die triviale Loesung $(0, 0, 0) [mm] \in \IZ^3$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
|
