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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen 3ten Grades, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und für x=2 einen Extrempunkt hat. |
Also ich habe mir da Gedanken gemacht, aber ich komme nicht weiter, vielleicht kann mir jemand sagen was falsch ist.
Also f(x)=ax³+bx
f'(x)=3ax²+b
f''(x)=6ax
Wegen der Punktsymetrie durch den Ursprung bekomm ich ja einen Punkt raus.
P1(0/0)
Extrempunkt bei x=2 bedeutet ja, dass f'(2)=0
so dann habe ich also zwei Punkte, wenn ich aber punkt P in f(x) einsetze, erhalte ich 0=0; und f'(2) = 12a+b=0. Also fehlt mir eine 2 Gleichung um a und b auszurechnen. ich könnte noch f'(-2)=0 bilden, aber da kommt ja das selbe raus, und dann komm ich auch nicht weiter. Um f(2) zu bilden fehlt mir ja leider der y-Wert f(2)=? -> 8a+2=?
Hoffe mir kann einer helfen.
MFG ichonline
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Hallo!
> Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen 3ten Grades,
> deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und für x=2
> einen Extrempunkt hat.
> Also ich habe mir da Gedanken gemacht, aber ich komme
> nicht weiter, vielleicht kann mir jemand sagen was falsch
> ist.
>
> Also f(x)=ax³+bx
> f'(x)=3ax²+b
> f''(x)=6ax
> Wegen der Punktsymetrie durch den Ursprung bekomm ich ja
> einen Punkt raus.
> P1(0/0)
> Extrempunkt bei x=2 bedeutet ja, dass f'(2)=0
>
> so dann habe ich also zwei Punkte, wenn ich aber punkt P in
> f(x) einsetze, erhalte ich 0=0; und f'(2) = 12a+b=0. Also
> fehlt mir eine 2 Gleichung um a und b auszurechnen. ich
> könnte noch f'(-2)=0 bilden, aber da kommt ja das selbe
> raus, und dann komm ich auch nicht weiter. Um f(2) zu
> bilden fehlt mir ja leider der y-Wert f(2)=? -> 8a+2=?
Es ist ganz klar, dass dir eine Gleichung zur eindeutigen Bestimmung einer solchen Funktion fehlt, denn du sollst ja alle solche Funktionen bestimmen. Aus der Angabe mit dem Extrempunkt erhältst du also:
12a+b=0 [mm] \gdw [/mm] 12a=-b [mm] \gdw a=-\bruch{1}{12}b
[/mm]
Das heißt, alle Funktionen der Form [mm] f(x)=-\bruch{1}{12}bx^3+bx [/mm] erfüllen die Bedingung und du bist fertig. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Mi 03.05.2006 | | Autor: | ichonline |
VIelen Dank!
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