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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 So 26.11.2006 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
wiederhole gerade für die nächste Klausur, habe eigentlich alles verstanden, was kompliziert ist, bin aber dennoch bei den ersten Seiten nochmal ins Stocken gekommen:
Wir haben notiert:
(1) Eine Stammfunktion F(x) ist eine Funktion, deren Ableitung die ursprüngliche Funktion f(x) ist. => logisch
(2) [mm] \integral_{}^{}{f(x) dx} [/mm] ist die Menge alle Stammfunktionen zu f(x). => da (F(x)+C)' immer f(x) ist, egal was C ist, hab ich das richtig verstanden?
(3) [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] ist eine Zahl, die die Flächenbilanzsumme beschreibt. => Ich schreibs als F(b)-F(a) auf, setz was für a und b ein, rechne es aus und habe dann eine Zahl als Ergebnis, richtig?
Und hier hatte ich die meisten Probleme:
(4) [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] ist eine Funktionenschar, die die Flächenbilanzsumme von einem Wert a bis zur Variablen x beschreibt.
=> Wo ist jetzt genau der Unterschied zum bestimmten Integral (3)?
Warum ändert man f(x) zu f(t)?
Was "bringt" das jetzt überhaupt, die Fläche kann ich doch mit (3) berechnen?
Wieso ist die Ableitung von [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] wieder f(x)?
Wäre nett, wenn mir jemand die einzelnen Sachen nochmal bestätigen bzw. erklären könnte :)
Danke,
Oli
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> Hallo,
> wiederhole gerade für die nächste Klausur, habe eigentlich
> alles verstanden, was kompliziert ist, bin aber dennoch bei
> den ersten Seiten nochmal ins Stocken gekommen:
>
> Wir haben notiert:
>
> (1) Eine Stammfunktion F(x) ist eine Funktion, deren
> Ableitung die ursprüngliche Funktion f(x) ist. => logisch
>
> (2) [mm]\integral_{}^{}{f(x) dx}[/mm] ist die Menge alle
> Stammfunktionen zu f(x). => da (F(x)+C)' immer f(x) ist,
> egal was C ist, hab ich das richtig verstanden?
[mm] \text{Ja.}
[/mm]
>
> (3) [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] ist eine Zahl, die die
> Flächenbilanzsumme beschreibt. => Ich schreibs als
> F(b)-F(a) auf, setz was für a und b ein, rechne es aus und
> habe dann eine Zahl als Ergebnis, richtig?
[mm] \text{Aber Vorsicht: Es kommt immer darauf an, ob du das Integral als Flächeninhalt deuten sollst oder einfach nur den Wert}
[/mm]
[mm] \text{des Integrals bestimmen sollst. Der kann nämlich auch negativ oder gar 0 sein.}
[/mm]
>
> Und hier hatte ich die meisten Probleme:
> (4) [mm]\integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm] ist eine Funktionenschar,
> die die Flächenbilanzsumme von einem Wert a bis zur
> Variablen x beschreibt.
> => Wo ist jetzt genau der Unterschied zum bestimmten
> Integral (3)?
> Warum ändert man f(x) zu f(t)?
> Was "bringt" das jetzt überhaupt, die Fläche kann ich doch
> mit (3) berechnen?
> Wieso ist die Ableitung von [mm]\integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm]
> wieder f(x)?
>
[mm] \text{Integrierst du bis x, so berechnest du das Integral in Abhängigkeit von x. In diese Stammfunktion kannst du jetzt jeden be-}
[/mm]
[mm] \text{liebigen Wert einsetzen, deshalb Funktionsschar.}
[/mm]
>
> Wäre nett, wenn mir jemand die einzelnen Sachen nochmal
> bestätigen bzw. erklären könnte :)
>
>
> Danke,
> Oli
[mm] \text{Lotti.}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 So 26.11.2006 | | Autor: | oli_k |
Danke!
Integrierst du bis x, so berechnest du das Integral in Abhängigkeit von x. In diese Stammfunktion kannst du jetzt jeden beliebigen Wert einsetzen, deshalb Funktionsschar.
Trotzdem weiss ich noch nicht, wo jetzt der Unterschied zwischen [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] und [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] liegt. Wieso heisst das eine bestimmtes Integral, das andere Integralfunktion? Ob ich jetzt für a und b beliebige Sachen einsetze, oder für a und x, ist das nicht egal? Und wieso ändert sich f(x)dx zu f(t)dt? Und warum ergibt [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] abgeleitet f(x), und nicht f(t)?
Danke,
Oli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 So 26.11.2006 | | Autor: | oli_k |
Und hab ich richtig verstanden, dass [mm] F_{a}(x)=F(x)-F(a) [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 So 26.11.2006 | | Autor: | Walde |
> Und hab ich richtig verstanden, dass [mm]F_{a}(x)=F(x)-F(a)[/mm] ?
Wenn, wie in deinem Fall [mm] F_a(x)=\integral_{a}^{x}{f(t)dt} [/mm] definiert und F eine Stammfunktion von f ist, ja.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 So 26.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi oli,
>> Trotzdem weiss ich noch nicht, wo jetzt der Unterschied
> zwischen [mm]\integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm] und
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] liegt. Wieso heisst das eine
> bestimmtes Integral, das andere Integralfunktion?
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] ist ein Zahl. z.b. [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=17
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] ist eine Funktion, mit Funktionsvariable x und Parameter a. z.B. [mm] g_a(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
Der Unterschied ist analog zum Unterschied zwischen der Zahl a (z.b a=5) und der Funktion f(x)=x. Oder auch der Funktion f(a)=a.
> Ob ich
> jetzt für a und b beliebige Sachen einsetze, oder für a und
> x, ist das nicht egal?
Um einen bestimmten Wert auszurechnen indem man Zahlen einsetzt ist es tatsächlich egal. Aber so wie es mit "x" gemeint ist, handelt es sich um eine Funktion, die man ableiten kann, die einen Definitionsbereich und Wertebereich hat, usw. Bei dem bestimmten Integral ist es einfach nur eine Zahl.
> Und wieso ändert sich f(x)dx zu
> f(t)dt?
Es hat sich eingebürgert, dass eine Funktion von x abhängt und a, b usw. Paramter sind. Und da das "x" dann schon belegt ist, weil es in der Intergrationsgrenze auftaucht, kann man es in der selben Funktion nicht nochmal verwenden, es wäre dann doppelt belegt, also missverständlich.
Man könnte natürlich statt [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] auch [mm] \integral_{a}^{t}{f(x) dx} [/mm] oder [mm] \integral_{z}^{h}{f(\varphi) d\varphi} [/mm] nehmen. Das sind alles nur andere Bezeichnungen, für ein und dasselbe. Eine Funktion mit Fkt.variable x(bzw. t bzw.h) und Paramter a (bzw. a bzw. z).
Man könnte sogar [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] als Funktion auffassen, wenn man [mm] g_a(b)=\integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] als Funktion von b definiert. So ist es in deinem Fall aber nicht gemeint.
>Und warum ergibt [mm]\integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm]
> abgeleitet f(x), und nicht f(t)?
>
> Danke,
> Oli
Naja, wie du ja schon weisst ist (, wenn F eine Stammfkt. von f ist)
[mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt}=F(x)-F(a)
[/mm]
Also ist [mm] (\integral_{a}^{x}{f(t) dt})'=(F(x)-F(a))'=F'(x)=f(x)
[/mm]
Klarer geworden?
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 So 26.11.2006 | | Autor: | oli_k |
Wow, danke!! Nimmst du auch Bargeld? ;)
Eine Kleinigkeit noch:
(F(x)-F(a))' = F'(x)
=> F(a) fällt weg, da es eine Zahl ist und damit beim Ableiten 0 wird, richtig?
Oli
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