Besselgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 So 03.01.2010 | | Autor: | Phorkyas |
| Aufgabe | Zeige: Die Besselgleichung
[mm]x^2 J_n''(x) +xJ_n'(x)+(x^2-n^2)J_n(x)=0[/mm] für [mm]n \in \IZ[/mm]
hat, bis auf Multiplikation mit einer Konstanten, genau eine auf ganz [mm]\IR[/mm] analytische Lösung [mm]J_n(x)[/mm]
Gib die Taylorentwicklung dieser Lösung um [mm]x=0[/mm] an. |
Nochmal Grüße Matheraum (die Fragen häufen sich in letzter Zeit)
Mal wieder fehlen mir etwas die Ansätze.
In der Vorlesung hatten wir nur die Integraldarstellung der Besselfunktion, ich habe bei Wikipedia schon gesehen, dass die Taylordarstellung die Gammafunktion enthällt und frage mich nun wie ich darauf kommen soll.
Meine Idee war bisher erstmal die eindeutigkeit links liegen zu lassen und ganz allgemein anzunehmen, dass ich die Lösung der Gleichung als Taylorreihe [mm]\summe_{m\ge 0}{a_m x^m}[/mm] darstellen kann.
Diesen Ansatz habe ich eingesetzt und komme dann auf
[mm]a_1(x(1-n^2)+x^3)+a_0(x^2-n^2)+\summe_{m\ge 2}{x^m a_m(m^2+1-n^2)}=0[/mm]
Aber ich bin mir nicht sicher wie weiter oder ob dieser Ansatz überhaupt zu etwas führt.
Für Hinweise sowohl zur Eindeutigkeit als auch zur Taylorentwicklung wäre ich dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
Grüße
Phorkyas
|
|
| |
|
Hallo Phorkyas,
> Zeige: Die Besselgleichung
> [mm]x^2 J_n''(x) +xJ_n'(x)+(x^2-n^2)J_n(x)=0[/mm] für [mm]n \in \IZ[/mm]
>
> hat, bis auf Multiplikation mit einer Konstanten, genau
> eine auf ganz [mm]\IR[/mm] analytische Lösung [mm]J_n(x)[/mm]
> Gib die Taylorentwicklung dieser Lösung um [mm]x=0[/mm] an.
> Nochmal Grüße Matheraum (die Fragen häufen sich in
> letzter Zeit)
>
> Mal wieder fehlen mir etwas die Ansätze.
> In der Vorlesung hatten wir nur die Integraldarstellung
> der Besselfunktion, ich habe bei Wikipedia schon gesehen,
> dass die Taylordarstellung die Gammafunktion enthällt und
> frage mich nun wie ich darauf kommen soll.
>
> Meine Idee war bisher erstmal die eindeutigkeit links
> liegen zu lassen und ganz allgemein anzunehmen, dass ich
> die Lösung der Gleichung als Taylorreihe [mm]\summe_{m\ge 0}{a_m x^m}[/mm]
> darstellen kann.
> Diesen Ansatz habe ich eingesetzt und komme dann auf
> [mm]a_1(x(1-n^2)+x^3)+a_0(x^2-n^2)+\summe_{m\ge 2}{x^m a_m(m^2+1-n^2)}=0[/mm]
>
> Aber ich bin mir nicht sicher wie weiter oder ob dieser
> Ansatz überhaupt zu etwas führt.
Schreibe erstmal alles unter das Summenzeichen,
passe dann die Potenzen an.
Dann erhältst Du eine Rekursionsformel für die Reihengleider.
Hier ist allerdings der Fall l=n separat zu behandeln.
>
> Für Hinweise sowohl zur Eindeutigkeit als auch zur
> Taylorentwicklung wäre ich dankbar.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
>
> Grüße
> Phorkyas
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Di 05.01.2010 | | Autor: | Phorkyas |
Grüße
Also, ich habe jetzt nochmal etwas rumgebastelt und bin von der vorherigen Formel ausgehend auf folgende Gleichung gekommen:
[mm]\summe_{m\ge0}{x^{m+2}((m^2+3m+2)a_{m+2})+x^{m+1}a_{m+1}(m+1)-x^m a_m n^2)}=0[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \summe_{m\ge0}{x^m((m^2-n^2)a_m +a_{m-2})}=0\forall x[/mm]
Und da die [mm]x^m[/mm] linear Unabhängig:
[mm]\Rightarrow a_{m-2}=(n^2-m^2)a_m[/mm]
Jetzt müsste ich [mm]m_0[/mm] und [mm]m_1[/mm] wissen damit mir das irgendetwas bringt.
Und was mache ich für die Eindeutigkeit?
Danke auf jedenfall für den Hinweis, MathePower, ich war mir eigendlich sicher, das mein Ansatz nicht zum Ziel führt. So kann man sich irren.
Grüße
Phorkyas
|
|
|
| |
|
Hallo Phorkyas,
> Grüße
>
> Also, ich habe jetzt nochmal etwas rumgebastelt und bin von
> der vorherigen Formel ausgehend auf folgende Gleichung
> gekommen:
>
> [mm]\summe_{m\ge0}{x^{m+2}((m^2+3m+2)a_{m+2})+x^{m+1}a_{m+1}(m+1)-x^m a_m n^2)}=0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \summe_{m\ge0}{x^m((m^2-n^2)a_m +a_{m-2})}=0\forall x[/mm]
>
> Und da die [mm]x^m[/mm] linear Unabhängig:
> [mm]\Rightarrow a_{m-2}=(n^2-m^2)a_m[/mm]
Hier mußt Du eine Fallunterscheidung machen:
i) [mm]n \not= m[/mm]
ii) [mm]n=m[/mm]
Im Fall i) ist [mm]a_{m}[/mm] bestimmbar.
Für den Fall ii) ist [mm]a_{m}[/mm] nicht eindeutg bestimmbar.
Vielmehr ist aus dieser Gleichung nur ersichtlich, daß [mm]a_{m-2}=0[/mm].
>
> Jetzt müsste ich [mm]m_0[/mm] und [mm]m_1[/mm] wissen damit mir das
> irgendetwas bringt.
Nun, [mm]m_{0}, \ m_{1}[/mm] hängen von den Anfangsbedingungen ab.
>
> Und was mache ich für die Eindeutigkeit?
>
> Danke auf jedenfall für den Hinweis, MathePower, ich war
> mir eigendlich sicher, das mein Ansatz nicht zum Ziel
> führt. So kann man sich irren.
>
> Grüße
> Phorkyas
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Phorkyas |
Grüße Matheboard
>>Für den Fall ii) ist $ [mm] a_{m} [/mm] $ nicht eindeutg bestimmbar.
>>Vielmehr ist aus dieser Gleichung nur ersichtlich, daß $ [mm] a_{m-2}=0 [/mm] $.
Hier meinst du sicherlich [mm]a_{n-2}[/mm] statt [mm]a_{m-2}[/mm].
>>Jetzt müsste ich $ [mm] m_0 [/mm] $ und $ [mm] m_1 [/mm] $ wissen damit mir das irgendetwas bringt.
Das war natürlich ein Fehler meinerseits. Es müsste [mm] $a_0$ [/mm] und [mm] $a_1$ [/mm] heißen.
Kann ich für die Eindeutigkeit dann so argumentieren?:
Die gefundene Rekursionsgleichung liefert eine eindeutige Taylorreihe(da [mm] $n\in\IZ$). [/mm]
Ist die Lösung der DGL auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] analytisch(Nach Voraussetzung gegeben), so ist sie eindeutig als Taylorreihe darstellbar.
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Die gefundene Taylorreihe ist die eindeutige Lösung der Besselgleichung.
Und die Taylorreihe könnte ich dann schreiben als:
[mm]J_n(x)=\summe_{m\ge 0 , 2m\neq n}{x^{2m}a_{-2}\produkt_{i=0}^{2m}{\bruch{1}{n^2-i^2}}}+\summe_{m\ge 0 , 2m+1\neq n}{x^{2m+1}a_{-1}\produkt_{i=0}^{2m+1}{\bruch{1}{n^2-i^2}}}[/mm]
wobei [mm] $a_{-2}$ [/mm] und [mm] $a_{-1}$ [/mm] dann aus Anfangsbedingungen folgen würden.
Wäre das jetzt soweit alles richtig?
Das würde ja bedeuten, dass sich die Besselgleichungen in ihrer Reihendarstellung nur im n-2ten Term unterscheiden und sonnst jeweils gleich sind.
Lustig.
Wäre über eine kurze Rückmeldung nochmal dankbar, nur damit ich weiß ob das jetzt so alles passt und ob ich wirklich fertig bin.
Schonmal vielen dank an MathePower für deine großartige Hilfe!
Grüße an das Board
Phorkyas
|
|
|
| |
|
Hallo Phorkyas,
> Grüße Matheboard
>
> >>Für den Fall ii) ist [mm]a_{m}[/mm] nicht eindeutg bestimmbar.
> >>Vielmehr ist aus dieser Gleichung nur ersichtlich, daß
> [mm]a_{m-2}=0 [/mm].
>
> Hier meinst du sicherlich [mm]a_{n-2}[/mm] statt [mm]a_{m-2}[/mm].
>
> >>Jetzt müsste ich [mm]m_0[/mm] und [mm]m_1[/mm] wissen damit mir das
> irgendetwas bringt.
>
> Das war natürlich ein Fehler meinerseits. Es müsste [mm]a_0[/mm]
> und [mm]a_1[/mm] heißen.
>
>
> Kann ich für die Eindeutigkeit dann so argumentieren?:
> Die gefundene Rekursionsgleichung liefert eine eindeutige
> Taylorreihe(da [mm]n\in\IZ[/mm]).
> Ist die Lösung der DGL auf ganz [mm]\IR[/mm] analytisch(Nach
> Voraussetzung gegeben), so ist sie eindeutig als
> Taylorreihe darstellbar.
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die gefundene Taylorreihe ist die eindeutige
> Lösung der Besselgleichung.
>
Die erhaltene Reihe ist auf jeden Fall Lösung der DGL.
Zu zeigen ist, dass sich 2 Lösungen nur um
einen multiplikativen Faktor unterscheiden.
>
> Und die Taylorreihe könnte ich dann schreiben als:
> [mm]J_n(x)=\summe_{m\ge 0 , 2m\neq n}{x^{2m}a_{-2}\produkt_{i=0}^{2m}{\bruch{1}{n^2-i^2}}}+\summe_{m\ge 0 , 2m+1\neq n}{x^{2m+1}a_{-1}\produkt_{i=0}^{2m+1}{\bruch{1}{n^2-i^2}}}[/mm]
Ich erhalte eine andere Lösung.
Insbesondere stimmt das Produkt nicht.
Zur Erinnerung, es gilt
[mm]a_{m}=\bruch{1}{n^{2}-m^{2}}*a_{m-2}, \ m \not= n[/mm]
>
> wobei [mm]a_{-2}[/mm] und [mm]a_{-1}[/mm] dann aus Anfangsbedingungen folgen
> würden.
>
> Wäre das jetzt soweit alles richtig?
>
> Das würde ja bedeuten, dass sich die Besselgleichungen in
> ihrer Reihendarstellung nur im n-2ten Term unterscheiden
> und sonnst jeweils gleich sind.
> Lustig.
>
> Wäre über eine kurze Rückmeldung nochmal dankbar, nur
> damit ich weiß ob das jetzt so alles passt und ob ich
> wirklich fertig bin.
>
>
> Schonmal vielen dank an MathePower für deine großartige
> Hilfe!
>
> Grüße an das Board
> Phorkyas
Gruss
MathePower
|
|
|
|
