Beschreibung 2-Ebene mit LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 So 28.06.2009 | | Autor: | tuple |
| Aufgabe | Man beschreibe die 2-Ebene [mm] \varepsilon [/mm] im [mm] \IR_5 [/mm] durch ein LGS!
[mm] \varepsilon [/mm] : [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\\ x_5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} [/mm] |
Hallo, scheitere leider schon an der Aufgabenstellung. Kann mir jemand bitte mal einen Tipp geben wie die Aufgabe zu verstehen ist? Was ist eine 2-Ebene?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 So 28.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du sollst hier nur die hinteren Vektoren zusammenfassen, und dann die Vektorschreibweise in ein LGS umwandeln.
Also:
[mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}}=\vektor{0\\1\\2\\0\\1}+\lambda*\vektor{-1\\1\\1\\1\\1}+\mu*\vektor{1\\0\\2\\1\\1}
[/mm]
[mm] \gdw \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}}=\vektor{-\lambda+\mu\\1\lambda\\2+\lambda+2\mu\\\mu\\1+\lambda+\mu}
[/mm]
Schreibe das ganze jetzt als LGS der Form:
[mm] \vmat{x_{1}+0x_{2}+0x_{3}+0x_{4}+0x_{5}=a_{1}\\0x_{1}+x_{2}+0x_{3}+0x_{4}+0x_{5}=a_{2}\\0x_{1}+0x_{2}+x_{3}+0x_{4}+0x_{5}=a_{3}\\0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}+x_{4}+0x_{5}=a_{4}\\0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}+0x_{4}+x_{5}=a_{5}}
[/mm]
Marius
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> Also:
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> [mm]\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}}=\vektor{0\\1\\2\\0\\1}+\lambda*\vektor{-1\\1\\1\\1\\1}+\mu*\vektor{1\\0\\2\\1\\1}[/mm]
> [mm]\gdw \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}}=\vektor{-\lambda+\mu\\1\lambda\\2+\lambda+2\mu\\\mu\\1+\lambda+\mu}[/mm]
>
> Schreibe das ganze jetzt als LGS der Form:
>
> [mm]\vmat{x_{1}+0x_{2}+0x_{3}+0x_{4}+0x_{5}=a_{1}\\0x_{1}+x_{2}+0x_{3}+0x_{4}+0x_{5}=a_{2}\\0x_{1}+0x_{2}+x_{3}+0x_{4}+0x_{5}=a_{3}\\0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}+x_{4}+0x_{5}=a_{4}\\0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}+0x_{4}+x_{5}=a_{5}}[/mm]
Hallo,
diese Form wird das LGS keinesfalls haben, denn die Lösungsmenge würde ja nur aus einem Punkt bestehen, und nicht aus einer Ebene.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 So 28.06.2009 | | Autor: | tuple |
Welche Form müsste denn das LGS dann haben?
Danke im Voraus!
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> Welche Form müsste denn das LGS dann haben?
Hallo,
Marius' Ansatz war ja in Ordnung.
Eliminiere [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu, [/mm] übrig bleiben dann drei Gleichungen, in denen nur noch die [mm] x_i [/mm] vorkommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 So 28.06.2009 | | Autor: | tuple |
Muss leider nochmal auf diese Aufgabe zurück kommen, aber irgendwie fehlt mir hier der Durchblick. Schreibe mir also alles um und erhalte
[mm] x_{1}= [/mm] 0 - [mm] 1\lambda +1\mu
[/mm]
[mm] x_{2}= [/mm] 1 + [mm] 1\lambda [/mm]
[mm] x_{3}= [/mm] 2 + [mm] 1\lambda +2\mu
[/mm]
[mm] x_{4}= [/mm] 0 - [mm] 2\lambda +1\mu
[/mm]
[mm] x_{5}= [/mm] 1 - [mm] 1\lambda +1\mu
[/mm]
Und nun? Gaussches Eliminationsverfahren? Hat jemand vielleicht einen Ansatz?
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> Muss leider nochmal auf diese Aufgabe zurück kommen, aber
> irgendwie fehlt mir hier der Durchblick. Schreibe mir also
> alles um und erhalte
>
> [mm]x_{1}=[/mm] 0 - [mm]1\lambda +1\mu[/mm]
> [mm]x_{2}=[/mm] 1 + [mm]1\lambda[/mm]
> [mm]x_{3}=[/mm] 2 + [mm]1\lambda +2\mu[/mm]
> [mm]x_{4}=[/mm] 0 - [mm]2\lambda +1\mu[/mm]
>
> [mm]x_{5}=[/mm] 1 - [mm]1\lambda +1\mu[/mm]
>
> Und nun? Gaussches Eliminationsverfahren? Hat jemand
> vielleicht einen Ansatz?
Hallo,
aus der eingerückten Gleichung bekommst Du [mm] \lambda.
[/mm]
Wenn Du dieses [mm] \lambda [/mm] in die erste Gleichung einsetzt, bekommst Du [mm] \mu.
[/mm]
Beides kannst Du nun in die anderen Gleichungen einsetzen, diese drei Gleichungen beschreiben die Ebene.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 So 28.06.2009 | | Autor: | tuple |
Jetzt hat es "klick" gemacht :) Schade das ich nicht alleine darauf gekommen bin. Vielen Dank für deine Geduld!
Gruß
Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 28.06.2009 | | Autor: | tuple |
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Kann mir eventuell noch jemand sagen was genau eine 2-Ebene ist?
Gruß
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> Vielen Dank für die schnelle Antwort. Kann mir eventuell
> noch jemand sagen was genau eine 2-Ebene ist?
Hallo,
was Ihr in Eurer Vorlesung für bezeichnungen verwendet, weiß ich natürlich nicht, aber Indizien sprechen dafür, daß mit 2-Ebene eine zweidimensionale Ebene gemeint ist.
Gruß v. Angela
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