Beschränkung ist bijektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei Y eine Menge und X eine Teilmenge von Y.
Sei [mm] f:Y\to [/mm] X eine injektive Abbildung und sei [mm] S\subseteq [/mm] Y die kleine Menge mit [mm] Y\setminus [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] S und [mm] f(S)\subseteq [/mm] S.
Zeigen Sie, dass die Beschränkung [mm] f_S [/mm] von f auf S nach [mm] S\cap [/mm] X und [mm] f_s \cup idy\setminus [/mm] S eine bijektive Abbildung von Y nach X ist. |
Um ehrlich zu sein, ich versteh die Aufgabe nicht wirklich...
Wir wissen [mm] f:Y\to [/mm] X ist eine injektive Abbildung.
Also wenn [mm] f(x)\not= [/mm] f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not= [/mm] y
Dann bedeutet das natürlich auch, dass [mm] f:A\to [/mm] X ist eine injektive Abbildung ist, wobei A jede beliebige Teilmenge von Y ist.
Soweit ist ja alles schön und gut aber irgendwie komme ich mit diesen Teilmengen nicht wirklich weiter...
Ich weiß dies:
[mm] Y\setminus [/mm] X [mm] \subseteq S\subseteq [/mm] Y
Wobei S die "kleinste" Menge ist, von der [mm] Y\setminus [/mm] X eine Teilmenge ist...
Hier stellt sich für mich die Frage, ob das nicht bedeutet, dass [mm] S=Y\setminus [/mm] X denn [mm] Y\setminus [/mm] X ist ja keine echte Teilmenge von S...
und wenn dem so wäre, dann wäre [mm] S\cap [/mm] X=S. Allerdings kommt mir das irgendwie doof vor...
Aber ich verstehe nicht einmal diesen Satz
"Zeigen Sie, dass die Beschränkung [mm] f_S [/mm] von f auf S nach [mm] S\cap [/mm] X und [mm] f_s \cup idy\setminus [/mm] S "
vor allem dieses "nach".
BITTE HELFT MIR! :(
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| Aufgabe | Sei Y eine Menge und X eine Teilmenge von Y.
Sei f: Y [mm] \to [/mm] X eine injektive Abbildung und sei
S [mm] \subseteq [/mm] Y die kleinste Menge mit
[mm] Y\setminus [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] S und f(S) [mm] \subseteq [/mm] S.
Zeigen Sie, dass die Beschränkung [mm] f_{|S} [/mm] von f auf S eine bijektive Abbildung von S nach S [mm] \cap [/mm] X
und
[mm] f_{|S} \cup id_{y\setminus S} [/mm] eine bijektive Abbildung von Y nach X ist. |
Oben ist natürliches vieles Falsch da ich S falsch verstanden habe...
Wir wissen also
[mm] Y\setminus [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] S [mm] \subseteq [/mm] Y
f(S) [mm] \subseteq [/mm] S
und f(S) [mm] \subseteq [/mm] X
da S die kleine Menge mit den beiden Eigenschaften ist, folgt:
[mm] S:=\{Y\setminus X \cup f(S)\}
[/mm]
Also ist [mm] S\cap [/mm] X = f(S).
Da f injektiv ist, gilt #S=#f(S) wobei # für Kardinalität steht.
[mm] f_{|S}:S\to [/mm] S [mm] \cap [/mm] X =f(S) ist also injektiv, da f injektiv ist und bijektiv, da #S=#f(S) und [mm] f_{|S} [/mm] injektiv ist.
Was ist [mm] f_{|S} \cup id_{y\setminus S} [/mm] ?
Ich dachte erst, dass dies ein Tippfehler sein könnte und gemeint wäre
[mm] f_{|S \cup id_{y\setminus S}}
[/mm]
Denn wenn ich mir dies betrachten würde, dann wäre
S [mm] \cup id_{y\setminus S}
[/mm]
[mm] =(Y\setminus [/mm] X [mm] \cup [/mm] f(S) ) [mm] \cup (Y\setminus (Y\setminus [/mm] X [mm] \cup [/mm] f(S)) )
= [mm] (Y\setminus [/mm] X [mm] \cup [/mm] f(S) ) [mm] \cup [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] f(S))=Y
Aber [mm] f_{|Y} [/mm] macht irgendwie kein Sinn, dann wäre die Abbildung ja gar nicht beschränkt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Di 17.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:20 Di 17.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:21 Di 17.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei Y eine Menge und X eine Teilmenge von Y.
> Sei [mm]f:Y\to[/mm] X eine injektive Abbildung und sei [mm]S\subseteq[/mm] Y
> die kleine Menge mit [mm]Y\setminus[/mm] X [mm]\subseteq[/mm] S und
> [mm]f(S)\subseteq[/mm] S.
>
> Zeigen Sie, dass die Beschränkung [mm]f_S[/mm] von f auf S nach
> [mm]S\cap[/mm] X und [mm]f_s \cup idy\setminus[/mm] S eine bijektive
> Abbildung von Y nach X ist.
> Um ehrlich zu sein, ich versteh die Aufgabe nicht
> wirklich...
>
>
> Wir wissen [mm]f:Y\to[/mm] X ist eine injektive Abbildung.
> Also wenn [mm]f(x)\not=[/mm] f(y) [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\not=[/mm] y
das fängt schon falsch an.
Die Folgerung $f(x) [mm] \not=f(y) \Rightarrow [/mm] x [mm] \not=y$ [/mm] gilt bei jeder Funktion, andernfalls wäre die Funktion nicht wohldefiniert!! (Denn andernfalls gäbe es ja [mm] $x=y\,$ [/mm] mit $f(x) [mm] \not=f(y)\,,$ [/mm] was schon "komisch" aussieht. Es heißt eigentlich, dass [mm] $\{f(t)\}$ [/mm] für ein [mm] $t\,$ [/mm] nicht nur genau ein Element hat, sondern echt mehr als eins.)
Injektivität bedeutet:
Aus $x [mm] \not=y$ [/mm] folgt (stets) $f(x) [mm] \not=f(y)\,.$ [/mm] Das kannst Du per Kontraposition auch schreiben als:
Aus [mm] $f(x)\,$[blue][b]=[/b][/blue]$f(y)\,$ [/mm] folgt (stets) $x = [mm] y\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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