Beschränkung beweisen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Mi 05.09.2012 | | Autor: | NoName2 |
| Aufgabe | Geben Sie die ersten 5 Folgenglieder an und untersuchen Sie die Folge auf Monotonie und Beschränkheit.
an= [mm] (-1)^n*1/n [/mm] |
Hallo ;)
Monotonie ist bei dieser Folge schonmal nicht vorhanden.
Beschränkungen müssten bei S = 0,5 und s = -1 sein.
Die Beschränkungen sollen wir außerdem beweisen.
Mein Ansatz für den Beweis der oberen Schranke ist:
0,5 > an
0,5 > [mm] (-1)^n*1/n [/mm]
Nun weiß ich aber nicht, wie ich die Ungleichung lösen soll :( Ich habe schon x- Varianten ausprobiert.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Geben Sie die ersten 5 Folgenglieder an und untersuchen Sie
> die Folge auf Monotonie und Beschränkheit.
>
> an= [mm](-1)^n*1/n[/mm]
[mm] $$a_n=(-1)^n*1/n$$
[/mm]
> Hallo ;)
> Monotonie ist bei dieser Folge schonmal nicht vorhanden.
> Beschränkungen müssten bei S = 0,5 und s = -1 sein.
>
> Die Beschränkungen sollen wir außerdem beweisen.
>
> Mein Ansatz für den Beweis der oberen Schranke ist:
> 0,5 > an
$$0,5 > [mm] a_n$$
[/mm]
mach' lieber ein [mm] $\ge [/mm] $ draus - denn es ist [mm] $a_2=0,5$
[/mm]
> 0,5 > [mm](-1)^n*1/n[/mm]
Wie gesagt:
Behauptung: Für alle [mm] $n\,$ [/mm] ist $0,5 [mm] \ge (-1)^n*1/n$
[/mm]
> Nun weiß ich aber nicht, wie ich die Ungleichung lösen
> soll :( Ich habe schon x- Varianten ausprobiert.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Mach' mal eine Fallunterscheidung:
1. Fall: Sei [mm] $n\,$ [/mm] ungerade...
2. Fall: Sei $n [mm] \ge [/mm] 1$ gerade, dann ist $n [mm] \ge [/mm] 2$...
Du musst in beiden Fällen übrigens die Ungleichung nicht "lösen" (was
soll das denn heißen), sondern zeigen, dass in den obigen beiden Fällen
stets die Ungleichung "gültig ist".
P.S.
Beschränktheit zeigen heißt übrigens nicht, dass Du die mit
"bestmöglichen Schranken" tun musst. Du kannst auch etwa
$$-10 [mm] \le a_n \le [/mm] 5 [mm] \text{ für alle }n$$
[/mm]
zeigen.
Oder auch einfach sowas wie
$$-2 [mm] \le a_n \le [/mm] 2 [mm] \text{ für alle }n$$
[/mm]
bzw. äquivalent dazu
[mm] $$|a_n|\le [/mm] 2 [mm] \text{ für alle }n [/mm] $$
zeigen - bspw..
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Mi 05.09.2012 | | Autor: | NoName2 |
Danke, aber das hilft mir jetzt nicht so richtig weiter. Wir sollten das immer an Hand der Ungleichung beweisen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke, aber das hilft mir jetzt nicht so richtig weiter.
dann musst Du nachdenken, was ich geschrieben habe!
> Wir sollten das immer an Hand der Ungleichung beweisen
Das machen wir doch dann.
Also ernsthaft, das ist fast trivial, aber ich rechne Dir den 1. Fall
vor:
Zur Erinnerung: Wir wollen zeigen, dass [mm] $a_n:=(-1)^n*1/n \le [/mm] 0,5$ für
alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt.
1. Fall: Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] ungerade. Hier gilt
[mm] $$(-1)^n*1/n=-1/n [/mm] < [mm] 0\,,$$
[/mm]
und wegen [mm] $0\le [/mm] 0,5$ folgt sogar
[mm] $$(-1)^n*1/n [/mm] < [mm] 0,5\,,$$
[/mm]
insbesondere aber damit auch [mm] $a_n=(-1)^n*1/n=-1/n \le 0,5\,.$
[/mm]
Der Fall ist damit abgehandelt.
2. Fall: Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] gerade. Hier gilt
[mm] $$(-1)^n*1/n=1/n\,.$$
[/mm]
Nun ist $n [mm] \in \IN$ [/mm] gerade. Und jetzt mach' ma' weiter! (Denk' dran:
hier ist dann $n [mm] \ge [/mm] 2$!!)
P.S.
Alternativ kannst Du auch sagen:
Jede Zahl $n [mm] \in \IN$ [/mm] hat entweder
eine Darstellung [mm] $n=2k\,$ [/mm] mit einem $k [mm] \in \IN$
[/mm]
oder
eine Darstellung $n=2k-1$ mit einem $k [mm] \in \IN\,.$ [/mm]
Im Prinzip ist das dann nur ein anderer Formalismus, aber die gleiche
Vorgehensweise wie oben...
P.S.
Beweise mir doch mal bitte
$$-1 [mm] \le a_n \le 1\,,$$
[/mm]
und zwar, indem Du mir
[mm] $$|a_n| \le [/mm] 1$$
begründest. (Beide Ungleichungen für alle natürlichen [mm] $n\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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