Beschränktheit von x^2+y^2<= 1 < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Hazzar |
| Aufgabe | Ist die folgende Menge beschränkt?
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[mm] \{ (x,y) \in \mathbb{R} : x^2 + y^2 \leq 1 \}
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wenn man sich zu dieser Aufgabe eine Skizze der Menge macht, dann scheint es für mich zunächst so, als sei diese Menge tatsächlich beschränkt, da ja der Kreis ein geschlossenes Gebilde ist und jeder Randpunkt eine Schranke darstellt.
Jetzt ist mir aber auch noch die Idee gekommen, dass man ja x und y beliebig wählen kann, so dass die Bedingung erfüllt ist.
Könnt ihr mir da ein bisschen auf die Sprünge helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Fr 03.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ist die folgende Menge beschränkt?
> $
> [mm]\{ (x,y) \in \mathbb{R} : x^2 + y^2 \leq 1 \}[/mm]
> $
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wenn man sich zu dieser Aufgabe eine Skizze der Menge
> macht, dann scheint es für mich zunächst so, als sei diese
> Menge tatsächlich beschränkt, da ja der Kreis ein
> geschlossenes Gebilde ist und jeder Randpunkt eine Schranke
> darstellt.
>
> Jetzt ist mir aber auch noch die Idee gekommen, dass man ja
> x und y beliebig wählen kann, so dass die Bedingung erfüllt
> ist.
Den letzten Satz versteh ich nicht! wieso denkst du, du kannst sie beliebig waehlen? sie muessen doch innerhalb des Kreises liegen? also x=2 etwa gehoert sicher nicht dazu!
Du musst das was du sagst also nur noch formal aufschreiben, indem du die Def. von beschraenkt zitierst und dann anwendest.
Gruss leduart
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Siehe die Antwort von Leduart.
Ich möchte nur auf einen wesentlichen Punkt hinweisen:
Die Bedingung, dass x und y reelle Zahlen sein sollen,
korrekt eigentlich so geschrieben:
[mm] (x,y)\in \IR^2 [/mm] (nicht [mm] \in \IR [/mm] !)
ist hier ganz zentral. Für reelle Zahlen x und y folgt
(weil [mm] x^2 [/mm] und [mm] y^2 [/mm] dann nicht-negativ sind) aus
[mm] x^2+y^2\le [/mm] 1, dass auch [mm] x^2\le [/mm] 1 und [mm] y^2\le [/mm] 1.
Wären auch echt komplexe x und y zugelassen, so wäre
die Behauptung falsch !
Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 So 05.10.2008 | | Autor: | Hazzar |
Ich habe noch eine allgemeine Frage zur Beschränktheit.
Kann der Durchschnitt zweier nicht beschränkter Mengen beschränkt sein?
Und wenn ich eine Menge habe, bei der mehrere Bedingungen durch Kommata voneinander getrennt sind, ist damit dann gemeint, dass die gesamte Menge als Durchschnitt der jeweiligen Teilmengen anzusehen ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 So 05.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ich habe noch eine allgemeine Frage zur Beschränktheit.
> Kann der Durchschnitt zweier nicht beschränkter Mengen
> beschränkt sein?
Ja natürlich. z.B. [mm] $(\infty,1]\cap[-1,\infty)=[-1,1]$.
[/mm]
> Und wenn ich eine Menge habe, bei der mehrere Bedingungen
> durch Kommata voneinander getrennt sind, ist damit dann
> gemeint, dass die gesamte Menge als Durchschnitt der
> jeweiligen Teilmengen anzusehen ist?
Ja, das ist eigentlich immer so. Wenn es nicht so gemeint wäre, würde der Autor das sicherlich deutlich hervorheben.
Gruß, Robert
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