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Ich soll die Beschränktheit der Folge [mm] (-1)^{n}\*\bruch{3n^2+5}{2n^2} [/mm] beweisen. Die Folge muss ja nach oben und nach unten beschränkt sein
Nach unten beschränkt wäre ja An [mm] \ge [/mm] C
Nach oben beschränkt wäre dann An [mm] \le [/mm] C
(Dabei steht An für die Folge und C für die Schranke)
Mein Vorschlag wäre ja die Folge [mm] (-1)^{n}\*\bruch{3n^2+5}{2n^2} \ge [/mm] C zu prüfen und [mm] (-1)^{n}\*\bruch{3n^2+5}{2n^2} \le [/mm] C
Wie löse ich den Term dann auf? Und ist das Vorgehen so richtig? Gibt es andere Möglichkeiten?
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Hiho,
eine Folge ist beschränkt, genau dann, wenn [mm] $|a_n| \le [/mm] c$ (mach dir mal klar, dass das äquivalent ist zu dem, was du schriebst).
Weiterhin weißt du hoffentlich, dass konvergente Folgen beschränkt sind.
Zeige [mm] also:$\left| (-1)^{n}*\bruch{3n^2+5}{2n^2}\right|$ [/mm] ist konvergent.
Gruß,
Gono
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Hallo Gono,
aber wie muss ich den Term denn jetzt im einzelnen auflösen?
[mm] $\left| (-1)^{n}*\bruch{3n^2+5}{2n^2}\right|$
[/mm]
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Hiho,
dir sollte klar sein, dass gilt:
[mm]\left| (-1)^{n}*\bruch{3n^2+5}{2n^2}\right|=\bruch{3n^2+5}{2n^2}[/mm]
Und vom hinteren ausdruck solltest du Grenzwert bestimmen können, indem du im Zähler und Nenner [mm] n^2 [/mm] ausklammerst und kürzt.
Gruß,
Gono
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[mm] \bruch{3n^2+5}{2n^2}
[/mm]
da der Grad vom n sowohl im Zähler als auch im Nenner Hoch 2 ist kann man vereinfacht davon ausgehen dass der Grenzwert dann 3/2 ist?
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Hiho,
> da der Grad vom n sowohl im Zähler als auch im Nenner Hoch
> 2 ist kann man vereinfacht davon ausgehen dass der
> Grenzwert dann 3/2 ist?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Damit ist [mm] $|a_n [/mm] |$ konvergent und daher beschränkt.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Di 11.04.2017 | | Autor: | Kopfvilla |
Vielen Dank für die Antworten!:)
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Mi 12.04.2017 | | Autor: | X3nion |
Hi Kopfvilla,
etwas ausführlicher aufgeschrieben:
Es gilt also [mm] |a_n| [/mm] = [mm] \frac{3n^{2} + 5}{2n^{2}} [/mm] = [mm] \frac{n^{2}(3 + \frac{5}{n^{2}})}{2n^{2}} [/mm] = [mm] \frac{3 + \frac{5}{n^{2}}}{2} [/mm] = [mm] \frac{3}{2} [/mm] + [mm] \frac{5}{2n^{2}}
[/mm]
Es gilt nun offensichtlich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |a_n| [/mm] = [mm] \frac{3}{2}
[/mm]
Folglich ist [mm] |a_n| [/mm] konvergent und deshalb beschränkt, also [mm] |a_n| \le [/mm] c [mm] \in \IR_{+} \cup \{0\} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Das wiederum ist äquivalent mit der Aussage, dass [mm] (a_n) [/mm] beschränkt ist für alle n [mm] \in \IN, [/mm] denn eine Folge [mm] (a_n) [/mm] heißt beschränkt, wenn ein c [mm] \in \IR_{+} \cup \{0\} [/mm] existiert, sodass [mm] |a_n| \le [/mm] c für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
VG X3nion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Mi 19.04.2017 | | Autor: | Kopfvilla |
Vielen Dank für die Ausführung hab es jetzt verstanden!:)
Gruß Kopfvilla
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mi 12.04.2017 | | Autor: | X3nion |
> Hallo Gono,
> aber wie muss ich den Term denn jetzt im einzelnen auflösen?
> $ [mm] \left| (-1)^{n}\cdot{}\bruch{3n^2+5}{2n^2}\right| [/mm] $
Es gilt gemäß der Multiplikativität des Absolutbetrages:
|xy| = |x| * |y| für alle x,y [mm] \in \IR
[/mm]
Setze x = [mm] (-1)^{n}, [/mm] y = [mm] \bruch{3n^2+5}{2n^2}
[/mm]
Dann gilt eben: [mm] \left|(-1)^{n} * \bruch{3n^2+5}{2n^2}\right| [/mm] = [mm] |(-1)^{n}| [/mm] * [mm] \left| \bruch{3n^2+5}{2n^2}\right| [/mm] = 1 * [mm] \left| \bruch{3n^2+5}{2n^2}\right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{3n^2+5}{2n^2}\right| [/mm] = [mm] \bruch{3n^2+5}{2n^2}
[/mm]
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> Hallo Gono,
>
> aber wie muss ich den Term denn jetzt im einzelnen
> auflösen?
> [mm]\left| (-1)^{n}*\bruch{3n^2+5}{2n^2}\right|[/mm]
>
>
Du suchst ein C, so dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm]\left| (-1)^{n}*\bruch{3n^2+5}{2n^2}\right|[/mm]<C
[mm] \gdw[/mm] [mm]\left| \bruch{3n^2+5}{2n^2}\right|[/mm]<C
[mm] \gdw[/mm] [mm] \bruch{3n^2+5}{2n^2}[/mm]<C
[mm] \gdw[/mm] [mm] 3n^2+5<2Cn^2[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm] 3+\bruch{5}{n^2}<2C[/mm]
Die linke Seite hat den größten Wert für n=1, alle anderen Werte nehmen dann kontinuierlich ab. Also wählst du C so, dass die rechte Seite > 3+5=8 wird, z,B. C=5.
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Hallo,
man braucht hier ja keine hellseherischen Fähigkeiten, um [mm] inf(a_n)=-3/2 [/mm] bzw. [mm] sup(a_n)=3/2 [/mm] zu erkennen. Mit dem Nachweis, dass [mm] |a_n|\le{3/2} [/mm] für alle n gilt, ist es hier also getan (darauf wollte GonozalIX) mit seiner ersten Variante ja auch hinaus.
Das war falsch (sorry, ich war abgelenkt). Die Folge ist natürlich nicht konvergent, die Frage der Beschränktheit muss man somit anders klären. Betrachte geeignete Teilfolgen.
Gruß, Diophant
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Hiho,
> man braucht hier ja keine hellseherischen Fähigkeiten, um
> [mm]inf(a_n)=-3/2[/mm] bzw. [mm]sup(a_n)=3/2[/mm] zu erkennen.
Dann wären das aber ziemlich schlechte Fähigkeiten, da ja alleine schon [mm] $a_1 [/mm] = -4$ die Schranken sprengt 
Gruß,
Gono.
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 21:01 Di 11.04.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo Gono,
au weia, das war kein 'kleiner Fehler in meinem Artikel', sondern ein dicker Schnitzer. In Gedanken hatte ich die +5 in den Nenner verschoben...
Vielen Dank jedenfalls für die Korrektur.
Gruß, Diophant
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