Beschränktheit in L-unendlich < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f\in L^\infty (\Omega) [/mm] und sei f auf ganz [mm] \Omega [/mm] stetig. [mm] \Omega \subset \IR^n.
[/mm]
Ist f damit für alle [mm] x\in \Omega [/mm] beschränkt? |
Hallo zusammen,
Meine intuitive Antwort auf obige Frage ist Ja, wegen der wesentlichen Beschränktheit - aber einen Beweis schaffe ich nicht.
Ich dachte man kann vllt zeigen, dass aus stetig und unbeschränkt folgt, dass die Funktion nicht in L-unendlich liegen kann. Es gibt ja für alle reellen R eine Teilmenge von Omega, auf der f im Betrag strikt größer ist als R, oder? Aber wie kommt ich da zur wesenltichen Beschränktheit?
Kann jemand helfen? Und stimmt das überhaupt?
Liebe Grüße,
Laura
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Hallo,
> Sei [mm]f\in L^\infty (\Omega)[/mm] und sei f auf ganz [mm]\Omega[/mm]
> stetig. [mm]\Omega \subset \IR^n.[/mm]
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> Ist f damit für alle [mm]x\in \Omega[/mm] beschränkt?
> Meine intuitive Antwort auf obige Frage ist Ja, wegen der
> wesentlichen Beschränktheit - aber einen Beweis schaffe
> ich nicht.
Die Antwort ist "Ja".
Zumindest wenn das zugrundeliegende Maß das Lebesgue-Maß ist.
Definiere $M := esssup(f)$. (*)
Dann gibt es höchstens eine (Lebesgue-)Nullmenge N [mm] \subset \Omega, [/mm] auf welcher die Funktion |f| den Wert $M$ überschreitet.
Mit Hilfe der Stetigkeit der Funktion f ist nun zu zeigen, dass diese Nullmenge die leere Menge sein muss.
Denn angenommen es gäbe $x [mm] \in [/mm] N$.
Dann gilt |f(x)| > M. Wegen der Stetigkeit von f gibt es eine ganze Umgebung [mm] U_\varepsilon(x) [/mm] von x mit [mm] $\forall [/mm] y [mm] \in U_\varepsilon(x): [/mm] f(y) > M$.
Das Lebesgue-Maß solch einer Umgebung [mm] U_\varepsilon(x) ist [/mm] aber > 0, und daher entsteht ein Widerspruch zu (*).
Also $N = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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