Beschränktheit Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Sa 22.09.2018 | | Autor: | Maxi1995 |
Hallo,
angenommen ich habe eine Potenzreihe eine Funktion von der ich weiß, dass sie auf einer Kreisscheibe mit dem Radius r um einen Entwicklungspunkt [mm] $z_0$ [/mm] normal konvergiert. Hat ferner die Potenzreihe einen kleinsten Koeffizienten ungleich 0, ohne Einschränkung [mm] $a_n$, [/mm] dann kann man die Potenzreihe umformen wie folgt:
[mm] $(z-z_0)^n(a_n+\underbrace{a_{n+1}(z-z_0)+...})$
[/mm]
Kann man für die rechte Klammer zeigen, dass der Anteil ab [mm] $a_{n+1}...$ [/mm] beschränkt ist, d.h. wenn ich die Kreisscheibe extrem verkleinere, dass dann gilt [mm] $|a_n|>$ [/mm] dem benannten Anteil?
Meine Idee wäre gewesen, zu sagen, dass aus der lokal gleichmäßig Konvergenz der Potenzreihe auch folgt, dass sie als Grenzwert einer stetigen Partialsummenfolge stetig sein muss und damit auf kompakten Mengen beschränkt, was ja eine abgeschlossene Kreisscheibe erlauben würde.
Ist das tragfähig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Sa 22.09.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> angenommen ich habe eine Potenzreihe eine Funktion von der
> ich weiß, dass sie auf einer Kreisscheibe mit dem Radius r
> um einen Entwicklungspunkt [mm]z_0[/mm] normal konvergiert. Hat
> ferner die Potenzreihe einen kleinsten Koeffizienten
> ungleich 0, ohne Einschränkung [mm]a_n[/mm], dann kann man die
> Potenzreihe umformen wie folgt:
>
> [mm](z-z_0)^n(a_n+\underbrace{a_{n+1}(z-z_0)^{n+1}+...})[/mm]
>
Nach [mm] a_{n+1} [/mm] muss [mm] z-z_0 [/mm] stehen und nicht der Exponent n+1
> Kann man für die rechte Klammer zeigen, dass der Anteil ab
> [mm]a_{n+1}...[/mm] beschränkt ist, d.h. wenn ich die Kreisscheibe
> extrem verkleinere, dass dann gilt [mm]|a_n|>[/mm] dem benannten
> Anteil?
>
der von Dir angesprochene Anteil hat in [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle, ist also in einer hinreichend kleinen Kreisscheibe um [mm] z_0 [/mm] kleiner als [mm] |a_n| [/mm]
> Meine Idee wäre gewesen, zu sagen, dass aus der lokal
> gleichmäßig Konvergenz der Potenzreihe auch folgt, dass
> sie als Grenzwert einer stetigen Partialsummenfolge stetig
> sein muss und damit auf kompakten Mengen beschränkt, was
> ja eine abgeschlossene Kreisscheibe erlauben würde.
>
> Ist das tragfähig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Sa 22.09.2018 | | Autor: | Maxi1995 |
Danke für deine Antwort, das hilft mir weiter.
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