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| Aufgabe | Für eine reelle Zahl a>0 sei die Folge [mm] (x_{n}) [/mm] rekursiv definiert durch
[mm] x_{0}>0 [/mm] beliebig, [mm] x_{n+1} [/mm] := [mm] \bruch{1}{2} (x_{n}+\bruch{a}{x_{n}}), [/mm] n [mm] \varepsilon \IN_{0}
[/mm]
Zeigen sie: (a) Die Folge [mm] (x_{n})_{n\ge1} [/mm] ist monoton fallend und nach unten beschränkt, also konvergent gegen einen Grenzwert x.
(b) Es gilt [mm] x=\wurzel{a} [/mm] |
Hallo zusammen. Also ich habe ein wenig schwierigkeiten mit der Aufgabe.
Zu (a) Man soll zeigen dass es monoton fallend ist: Also habe ich [mm] x_{n}-x_{n+1}\ge0 [/mm] ausgerechnet: Dabei kommt: [mm] x_{n}\ge\wurzel{a} [/mm] raus.
Wenn ich das ergebnist nun mit der (b) vergleiche stelle ich scchon fest, dass es der gesuchte Grenzwert ist. Aber habe ich damit schon geeigt, dass es MONOTON FALLEND und EINEN Grenzwert hat.
Zu (b): Hierzu bin ich überhaut noch nicht weitergekommen! Ich könnte ja jetzt behaupten dass ich diese Aufgabe schon mit dem Ergebnis aus (a) berechnet habe aber das kann ja eigentlich nicht sein oder!!!
Ich hoffe es kann mir jemand helfen und ein paar Tipps geben was ich falsch gemacht habe. Grüße C.
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> Für eine reelle Zahl a>0 sei die Folge [mm](x_{n})[/mm] rekursiv
> definiert durch
> [mm]x_{0}>0[/mm] beliebig, [mm]x_{n+1}[/mm] := [mm]\bruch{1}{2} (x_{n}+\bruch{a}{x_{n}}),[/mm]
> n [mm]\varepsilon \IN_{0}[/mm]
>
> Zeigen sie: (a) Die Folge [mm](x_{n})_{n\ge1}[/mm] ist monoton
> fallend und nach unten beschränkt, also konvergent gegen
> einen Grenzwert x.
> (b) Es gilt [mm]x=\wurzel{a}[/mm]
> Zu (a) Man soll zeigen dass es monoton fallend ist: Also
> habe ich [mm]x_{n}-x_{n+1}\ge0[/mm] ausgerechnet: Dabei kommt:
> [mm]x_{n}\ge\wurzel{a}[/mm] raus.
Hallo,
ganz dunkel ahne ich, was Du Schlimmes getan hast:
Du hast [mm]x_{n}-x_{n+1}\ge0[/mm] genommen und nach [mm] x_n [/mm] aufgelöst. Richtig?
Das kann man tun, wenn man mag, nur - mit der Aufgabe, herauszufinden, daß die Folge monoton fallen ist, hat das gar nichts zu tun!
Hierfür mußt Du [mm] x_{n}-x_{n+1} [/mm] nehmen und erstmal nachgucken, ob es [mm] \ge [/mm] 0 ist.
Verstehst Du den Unterschied?
Um [mm] x_{n}-x_{n+1} [/mm] abzuschätzen, solltest Du zuvor zwei andere Kleinigkeiten zeigen:
1. [mm] x_n [/mm] > 0.
Das geht per Induktion. Du kannst das ergebnis später für die Abschätzung gebrauchen, und außerdem hast du damit die Beschränkung nach unten gezeigt.
2. [mm] x_n^2 \ge [/mm] a
Das kannst Du mit Rückgriff auf die Rekursion zeigen. Du benötigst es später für die Abschätzung.
Wenn du das hast, kannst Du [mm] x_{n}-x_{n+1} [/mm] bequem abschätzen.
Am Ende von a hast Du gezeigt, daß die Folge monoton fallend und nach unten beschränkt ist. Also weißt Du, daß sie einen Grenzwert x hat.
Die Ermittlung dieses Grenzwertes, der bisher unbekannt ist, ist Ziel der Aufgabe b.
Betrachte hierzu, daß [mm] x_{n+1}= \bruch{1}{2} (x_{n}+\bruch{a}{x_{n}})
[/mm]
Also ist lim [mm] x_{n+1}= [/mm] lim [mm] \bruch{1}{2} (x_{n}+\bruch{a}{x_{n}})
[/mm]
Wogegen konvergierte nochmal die Folge [mm] (x_n)? [/mm] Einsetzen! Auflösen!
Gruß v. Angela
> Wenn ich das ergebnist nun mit der (b) vergleiche stelle
> ich scchon fest, dass es der gesuchte Grenzwert ist. Aber
> habe ich damit schon geeigt, dass es MONOTON FALLEND und
> EINEN Grenzwert hat.
> Zu (b): Hierzu bin ich überhaut noch nicht weitergekommen!
> Ich könnte ja jetzt behaupten dass ich diese Aufgabe schon
> mit dem Ergebnis aus (a) berechnet habe aber das kann ja
> eigentlich nicht sein oder!!!
>
> Ich hoffe es kann mir jemand helfen und ein paar Tipps
> geben was ich falsch gemacht habe. Grüße C.
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Hallo Angela!
Also ich habe jetzt als [mm] x_{n}=\bruch{1}{2}(x_{n-1}+\bruch{a}{x_{n-1}}).
[/mm]
Wie soll ich jetzt aber die Induktion machen??? Steh gerade total auf dem Schlauch!
zu (b): kann ich ja erst machen wenn ich weiß wogegen die Folge konvergiert!
Hoffe du kannst mir erneut weiterhelfen! Ich verstehe deinen Lösungsansatz nicht! DANKE
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> Hallo Angela!
> Also ich habe jetzt als
> [mm]x_{n}=\bruch{1}{2}(x_{n-1}+\bruch{a}{x_{n-1}}).[/mm]
> Wie soll ich jetzt aber die Induktion machen??? Steh
> gerade total auf dem Schlauch!
Bist Du jetzt gerade dabei, zu zeigen, daß
1. $ [mm] x_n [/mm] $ > 0 ?
Falls ja:
Induktionsanfang: n=0
Es ist [mm] x_0>0 [/mm] nach Voraussetzung. Schau in der Aufgabe nach.
Induktionsvoraussetzung: sei $ [mm] x_n [/mm] $ > 0 für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Induktionsschluß: n ---> n+1
zu zeigen: gilt die I.V., so ist auch [mm] x_{n+1} [/mm] >0
Es ist [mm] x_{n+1}=... [/mm]
Hier mußt Du dann unter Verwendung der I.V. abschätzen.
> zu (b): kann ich ja erst machen wenn ich weiß wogegen die
> Folge konvergiert!
Nein. b) hat die Ermittlung des Grenzwertes zur Aufgabe. So, wie ich es angedeutet habe.
a) leistet die Vorarbeit. Es sichert die Existenz des Grenzwertes, ohne daß man diesen explizit kennen muß.
> Hoffe du kannst mir erneut weiterhelfen! Ich verstehe
> deinen Lösungsansatz nicht!
Zunächst ist zu zeigen, daß die Folge beschränkt ist und monoton.
Hat man das gezeigt, kann man aufgrund bekannter Sätze schließen, daß die Folge einen Grenzwert hat - welchen auch immer. Es geht hier lediglich um die Existenz.
Die Bestimmung des Grenzwertes erfolgt später. Wenn die existenz gesichert ist.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela.
Ich habe mir sowas fast gedacht, das Problm ist nur:
wenn [mm] x_{0}>0 [/mm] und [mm] x_{n}>0 [/mm] und man zeigt dann für [mm] n\to(n+1) [/mm] dass [mm] x_{n+1}=..... [/mm] / und .... ist ja wieder wie in der Aufgabenstellung [mm] \bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{a}{x_{n}}) [/mm] . Mein Problem ist jetzt: WAS habe ich damit genau gezeigt?Wenn Monotonie, dann weiß ich doch immer noch nicht ob nun FALLEND oder STEIGEND, weil ja nur gesagt ist, dass " ....>0 ", aber das liefert mir ja nicht mehr erkenntnisse. "Was genau meinst du denn mit "HIER MUSST DU UNTER VERWENDUNG DER IV ABSCHÄTZEN!" " ??? Also ich versteh das nicht!
Gruß C.
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Hallo,
leider bin ich im Moment etwas in Eile.
Hast Du es denn jetzt geschafft, zu zeigen, daß [mm] x_n>0 [/mm] ?
Das ist mir nicht ganz klar geworden.
Wenn ja, hast Du die Beschränkung nach unten.
Das die Folge monoton fallend ist, zeigst Du später, indem Du $ [mm] x_{n}-x_{n+1}\ge0 [/mm] $ nachweist.
>
> Ich habe mir sowas fast gedacht, das Problm ist nur:
> wenn [mm]x_{0}>0[/mm] und [mm]x_{n}>0[/mm] und man zeigt dann für [mm]n\to(n+1)[/mm]
> dass [mm]x_{n+1}=.....[/mm] / und .... ist ja wieder wie in der
> Aufgabenstellung [mm]\bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{a}{x_{n}})[/mm] .
"Was genau meinst du denn mit "HIER MUSST DU
> UNTER VERWENDUNG DER IV ABSCHÄTZEN!" " ??? Also ich versteh
> das nicht!
[mm] x_{n+1}=[/mm] [mm][mm] \bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{a}{x_{n}})
[/mm]
Genau das sollst Du abschätzen. Es geht darum, ob das Dings größer oder kleiner als Null ist.
Wie lautet denn die Induktionsvoraussetzung, und wie kannst Du sie hier gebrauchen?
Gruß v. Angela
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Hallo Angela!
zu zeigen dass [mm] x_{n}>0 [/mm] ist ja gerade mein Problem! Ich versteh die Logik dahinter einfach nicht! mein [mm] x_{n}=\bruch{1}{2}*(x_{n-1}+\bruch{a}{x_{n-1}}) [/mm] !! Nur komm ich mit der Induktion nicht weiter! Wie eine Induktion normalerweise abläuft ist mir schon klar, nur in diesem Fall mit der rekursiven Definition blick ich einfach nicht durch! Ich hoffe du kannst mir nochmal helfen!!
DANKE
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> Nur komm
> ich mit der Induktion nicht weiter! Wie eine Induktion
> normalerweise abläuft ist mir schon klar, nur in diesem
> Fall mit der rekursiven Definition blick ich einfach nicht
> durch!
Dafür besteht kein Grund! Es ist wirklich piepeinfach!
Bist Du Dir ganz sicher, daß Du das Prinzip der vollständigen Induktion richtig verstanden hast? Könntest Du den Ablauf einer Induktion erklären und das "Kochrezept" angeben?
Ich gehe bis auf weiteres davon aus und zeige Dir jetzt diese Induktion, damit Du einsiehst, daß es wirklich kaum etwas zum Denken gibt dabei.
Behauptung: Es ist [mm] x_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN_0
[/mm]
Induktionsanfang: n=0
Es ist $ [mm] x_0>0 [/mm] $ nach Voraussetzung.
Induktionsvoraussetzung: Sei $ [mm] x_n [/mm] $ > 0 für alle n $ [mm] \in \IN [/mm] $
Induktionsschluß: n ---> n+1
zu zeigen: gilt die I.V., so ist auch $ [mm] x_{n+1} [/mm] $ >0
Bew.:
Es ist [mm] x_{n+1}= \bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{a}{x_{n}}) [/mm] (aufgrund der Rekursionsvorschrift)
Da nach Voraussetzung a>0 und nach Induktionsvoraussetzung [mm] x_n>0 [/mm] ist, gilt [mm] x_{n+1}= \bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{a}{x_{n}})>0
[/mm]
Das war's schon. Fertig.
Gruß v. Angela
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