Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Ayame |
Ich soll diese Folge auf Monotonie und beschränktheit untersuchen :
[mm] (\bruch{1-n+n^{2}}{1+n}
[/mm]
Monotonie :
[mm] \bruch{1-(n+1) + (n+1)^{2}}{1+(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n+n^{2}+2n+1}{2+n} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}+3n+1}{2+n} [/mm] > 0
monoton wachsend
Jetzt kommt mein Problem : Wie untersuche ich sie auf beschränktkeit ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Sa 21.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass die Folge nach oben nicht begrenzt ist, kann man doch leicht zeigen. nach unten suchst du einfach den kleinsten wert, wenn sie monoton wächst, muss das ja bei n=1 sein.
aber die Monotonie hast du doch nicht bewiesen, wann [mm] a_{n+1}>0 [/mm] ist. (auuserdem ist da noch ein Rechenfehler drin.
$ [mm] \bruch{n^{2}+3n+1}{2+n} [/mm] $ falsch richtig $ [mm] \bruch{n^{2}+n+1}{2+n} [/mm] $
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Ayame |
Danke für die verbesserung.
Also ich hab für die monotonie der Folge ein mal n und ein mal n+1 so weit zusammengefasst und dannauf den gleichen nenner gebracht und die beiden gleichungen verglichen. Also welche größer ist.
Reicht das für die monotonie ?
Ich weriß immer noch nicht wie ich die beschränktheit zeigen soll.
ist nicht n=1 immer die untere schranke da n [mm] \in \IN [/mm] ist ?Aber wie soll ich eine obere schranke ausrechnen ?
Bsp : [mm] \bruch{1}{1+(-2)^{n}}
[/mm]
Da dachte ich mir ob man da nicht nach geraden und ungeraden zahlen unterscheiden könnte.
a) [mm] \bruch{1}{1+(-2)^{2n-1}} [/mm] und b) [mm] \bruch{1}{1+(-2)^{2n}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Sa 21.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du das mit dem Vergleichen richtig gemacht hast, also wirklich [mm] a_n
Nur weil du bewiesen hast, dass die folge vom ersten Glied an wachsend ist, ist bei n=1 der kleinste Wert.
Du suchst doch nicht ne Schranke für n sondern für deine [mm] a_n
[/mm]
wwenn du etwa die Folge [mm] a_n=1+1/n [/mm] hast, ist bei n=1 nicht die untere Schranke.
Bei der gegebenen Folge sieht man aber, dass sie für grosse n beliebig gross wird, der GW ist [mm] \infty [/mm] also hat sie keine obere Schranke. man beweist das mit : zu jedem beliebigen S>0 gibt es ein N, so dass alle [mm] a_n [/mm] mit n>N grösser S sind.
Natürlich kannst du die Folge so schreiben, aber was soll das helfen?
Wenn dann solltest du schreiben :
$ [mm] a_{2n-1}=\bruch{1}{1-2)^{2n-1}} [/mm] $ und b) $ [mm] a_{2n}=\bruch{1}{1+(2)^{2n}} [/mm] $
dann kannst du zeigen, dass die eine Teilfolge steigend, die andere Fallend ist, dass also die kleinste obere Schranke bei n=0 (oder wenn ihr mit n=1 anfängt. bei n=2
die kleinste untere Schranke bei n=1 liegt.
Wenn du nur Bschränktheit zeigen willst, dann kannst du einfach zeigen, dass [mm] a_n [/mm] immer >-2 (oder -10) ist und immer kleiner 2 oder 10 oder 100.
Wenn nur nach Beschränktheit gefragt ist, ist egal, welche Schranke du nimmst, die darf dann auch viel zu gross oder zu klein sein. nur wenn nach der kleinsten oberen oder rössten unteren Schranke gefragt ist must du genauer sein.
Gruss leduart.
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