Beschränktheit-Teilfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Folge [mm] a_n =\frac{3n-1}{n+1}
[/mm]
[mm] n\in \IN
[/mm]
Zeige: streng monoton steigend, beschränkt und gebe ersten drei Glieder der Teilfolge [mm] (a_{2^k})_{k\in\IN} [/mm] an |
Streng monoton steigend
[mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n}
[/mm]
....
kommt schlussendlich [mm] 3n^2 [/mm] + 5n + 2 > [mm] 3n^2 [/mm] + 5n-2
was ja korrekt ist da n [mm] \in \N
[/mm]
Wie beweise ich Bschränktheit? Ist klar, dass es oben und unten beschränkt sein muss.
wegen Monotoni ist unterste Schranke 1
und [mm] lim_{n->\infty} \frac{3n-1}{n+1} [/mm] = 3
Muss ich da noch mehr zeigen mit der Umgebung?
Und das mit der teilfolge ist mir auch nicht klar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Sa 12.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Folge [mm]a_n =\frac{3n-1}{n+1}[/mm]
> [mm]n\in \IN[/mm]
> Zeige: streng
> monoton steigend, beschränkt und gebe ersten drei Glieder
> der Teilfolge [mm](a_{2^k})_{k\in\IN}[/mm] an
>
> Streng monoton steigend
> [mm]a_{n+1}[/mm] > [mm]a_{n}[/mm]
> ....
> kommt schlussendlich [mm]3n^2[/mm] + 5n + 2 > [mm]3n^2[/mm] + 5n-2
Ich bekomme:
[mm]3n^2[/mm] + 6n + 2 > [mm]3n^2[/mm] + 5n-2
> was ja korrekt ist da n [mm]\in \N[/mm]
>
> Wie beweise ich Bschränktheit? Ist klar, dass es oben und
> unten beschränkt sein muss.
> wegen Monotoni ist unterste Schranke 1
Ja, 1 ist eine untere Schranke.
1 [mm] \le a_n \le \bruch{3n}{n+1} \le \bruch{3n}{n} [/mm] =3
> und $ [mm] lim_{n->\infty} \frac{3n-1}{n+1} [/mm] $ = 3
> Muss ich da noch mehr zeigen mit der Umgebung?
Dass der GW =3 ist, solltest Du noch begründen.
> Und das mit der teilfolge ist mir auch nicht klar.
Es ist [mm] a_{2^k}=\bruch{3*2^k}{2^k+1}
[/mm]
Berechne das für k=1,2,3.
FRED
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auf der linken seite ist doch beim erweitern mit n+1
(3n+2) * (n+1)
= [mm] 3n^2 [/mm] + 2n + 3n + 2
wo vertuhe ich mich da?
> 1 $ [mm] \le a_n \le \bruch{3n}{n+1} \le \bruch{3n}{n} [/mm] $ =3
Reicht dein Teil schon als begründung für den Grenzwert 3?
(->im zwieten Bsp, muss ich soundso die Konvergenz beweisen durch expilzite angabe eine [mm] N(\varepsilon) [/mm] aus der Def. der Konvergenz. (Da bin ich noch dran)
> $ [mm] a_{2^k}=\bruch{3\cdot{}2^k}{2^k+1} [/mm] $
wo ist im zähler die - 1 geblieben?
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Hallo theresetom,
> auf der linken seite ist doch beim erweitern mit n+1
> (3n+2) * (n+1) = [mm]3n^2[/mm] + 2n + 3n + 2
> wo vertuhe ich mich da?
Das stimmt schon:
[mm] \frac{3(n+1)-1}{(n+1)+1}>\frac{3n-1}{n+1}\gdw(3n+2)(n+1)>(3n-1)(n+2)\gdw 3n^2+5n+2>3n^2+5n-2\gdw2>-2
[/mm]
> > 1 [mm]\le a_n \le \bruch{3n}{n+1} \le \bruch{3n}{n}[/mm] =3
> Reicht dein Teil schon als begründung für den Grenzwert 3?
Nein, die Abschätzung reicht nicht. Unter Verwendung der Grenzwertsätze gilt
[mm] \lim_{n\to\infty}\frac{3n-1}{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{3-1/n}{1+1/n}=3
[/mm]
> > [mm]a_{2^k}=\bruch{3\cdot{}2^k}{2^k+1}[/mm]
> wo ist im zähler die - 1 geblieben?
Ja, du musst im Zähler natürlich noch -1 rechnen.
LG
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[mm] a_{2^1} [/mm] = 5/3
[mm] a_{2^2} [/mm] = 11/5
...
> $ [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{3n-1}{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{3-1/n}{1+1/n}=3 [/mm] $
okay, dass reicht jetzt aber schon?
da ja $ [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] 1/n = 0
Wie schon gesagt weiters steht:
beweise die Konvergenz durch explizite Angabe eines
[mm] N(\varepsilon) [/mm] aus der De nition der Konvergenz.
Für alle [mm] \varepsilon>0: \exists N\in \IN:\forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N so dass:| [mm] \frac{3n+-1}{n+1} [/mm] -3| [mm] <\varepsilon
[/mm]
umformungen
[mm] \frac{4}{\varepsilon} [/mm] -1 < n
d.h.
N := [mm] \frac{4}{\varepsilon} [/mm] -1
oderr?
was mache in nun weiter?
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> [mm]a_{2^1}[/mm] = 5/3
> [mm]a_{2^2}[/mm] = 11/5
> ...
> >
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{3n-1}{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{3-1/n}{1+1/n}=3[/mm]
> okay, dass reicht jetzt aber schon?
> da ja $ [mm]\lim_{n\to\infty}[/mm] 1/n = 0
Ja.
>
> Wie schon gesagt weiters steht:
> beweise die Konvergenz durch explizite Angabe eines
> [mm]N(\varepsilon)[/mm] aus der De nition der Konvergenz.
> Für alle [mm]\varepsilon>0: \exists N\in \IN:\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N
> so dass:| [mm]\frac{3n+-1}{n+1}[/mm] -3| [mm]<\varepsilon[/mm]
> umformungen
> [mm]\frac{4}{\varepsilon}[/mm] -1 < n
>
> d.h.
> N := [mm]\frac{4}{\varepsilon}[/mm] -1
N muss natürlich sein, also wende noch eine Rundungsoperation (obere Gaußklammer an). Beachte noch den Fall [mm] \varepsilon\geq4, [/mm] dann kannst du aber direkt [mm] N(\varepsilon)=1 [/mm] setzen.
LG
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0 gehört bei uns nicht mehr zu den [mm] \IN
[/mm]
4\ [mm] \varepsilon [/mm] - 1 > 0
[mm] \varepsilon [/mm] > 4
Und was muss ich jetzt machen?
weitere verstehe ich nicht
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> 0 gehört bei uns nicht mehr zu den [mm]\IN[/mm]
> 4\ [mm]\varepsilon[/mm] - 1 > 0
> [mm]\varepsilon[/mm] > 4
Nein [mm] \frac{4}{\varepsilon}-1>0 \gdw \varepsilon<4. [/mm]
Da hab ich schon geschrieben, dass du nur noch Das von dir berechnete N aufrunden musst.
LG
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> Das von dir berechnete N aufrunden musst.
??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Sa 12.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
kontrollier deine posts mit Vorschau, die ist unlesbar!
[mm] N>\bruch{4}{\epsilon}-1
[/mm]
also auch [mm] N>\bruch{4}{\epsilon}
[/mm]
damit hast du auch die lästige Fallunterscheidung los dass [mm] \epsilon\ge [/mm] 4 ist.
also kann man [mm] N=[\bruch{4}{\epsilon}] [/mm] wählen.
viele sind nicht so haarspalterisch, dass da ne ganze Zahl angegeben werden muss, sondern es reicht eben [mm] N>\bruch{4}{\epsilon} [/mm] weil die nächst größere nat. zahl das ja erfüllt.
Gruss leduart
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mhm, ganz hab ich es nicht verstanden ;(
> [mm] \frac{4}{\varepsilon} [/mm] -1 < n
n ist größer als der asusdruck
aber ich kann doch nicht einfach sagen n ist größer als der ausdruck +1
? Wie machst du das?
> $ [mm] \epsilon \ge [/mm] 4
Die Frage ist ja nach explizite angabe des [mm] N(\varepsilon) [/mm] und dass habe ich ja.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Sa 12.11.2011 | | Autor: | theresetom |
push it ;))
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Sa 12.11.2011 | | Autor: | theresetom |
Hallo ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Sa 12.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
n "ist" nicht, n kann gewählt werden so das....
Du musst ein explizites N angeben, niemand fragt dich nach dem kleinst möglichen N! wenn etwa N=1000 ein mögliches N ist , dann ist auch N=1010 oder N=10000 eine richtige Antwort. Hauptsache der [mm] |a_n-a|<\epsilon [/mm] für alle n>N
i.a will man ein einfaches N, [mm] N>4/\epsilon-1 [/mm] ist ok, aber das um 1 größere auch! [mm] 5/\epsilon [/mm] ist zwar nicht sehr sinnvoll, aber auch ne richtige Antwort.
Deine Drängelei ist sehr unhöflich! Denkst du wir warten hier pausenlos gespannt auf deine Fragen und tippen los, wenn wir die antwort wissen?
Hast du schon mal irgendwo kostenlos geholfen? würdest du dabei ein "push" erwarten?
Gruss leduart
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also kann ich die ANtwort bei
n > 4/ [mm] \varepsilon [/mm] -1
N:= 4/ [mm] \varepsilon [/mm] -1
[mm] \varepsilon [/mm] < 4
belassen?
Für alle $ [mm] \varepsilon>0: \exists N\in \IN:\forall [/mm] $ n $ [mm] \ge [/mm] $ N so dass:| $ [mm] \frac{3n+-1}{n+1} [/mm] $ -3| $ [mm] <\varepsilon [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Sa 12.11.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
nein
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Tolle Antwort.
Kannst du mir vielleicht sagen, warum ich es nicht so belassen kann bzw. was hier falsch ist????-.-
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Es wurde in diesem Thread schon mehrfach gesagt:
Am besten du wählst $ [mm] N>\bruch{4}{\epsilon} [/mm] $, dann umgehst du das Problem mit der Fallunterscheidung für [mm] \varepsilon\geq4.
[/mm]
LG
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Hast du oben schon geschrieben und ich hatte dir als antwort geschrieben dass ich es nicht verstehe...
Und was an meiner Antwort nicht stimmt verstehe ich auch nicht .
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> Hast du oben schon geschrieben und ich hatte dir als
> antwort geschrieben dass ich es nicht verstehe..
> Und was an meiner Antwort nicht stimmt verstehe ich auch
> nicht .
Hallo,
ich kann gerade schlecht nachvollziehen, worauf Du Dich beziehst und von welcher Deiner Antworten Du sprichst.
Auf jeden Fall kannst Du doch vorrechnen, daß für gegebenes [mm] \varepsilon>0 [/mm] für alle n, die größer als [mm] \bruch{4}{\varepsilon} [/mm] sind, gilt, daß
[mm] |a_n-3|<\varepsilon.
[/mm]
Sofern Du als "Schwellenwert" unbedingt [mm] N=\bruch{4}{\varepsilon}-1 [/mm] nehmen möchtest, mußt Du bedenken, daß dieser für großes [mm] \varepsilon [/mm] negativ ist, Du müßtest also das [mm] \varepsilon [/mm] einschränken, damit dies nicht passiert und für große [mm] \varepsilon [/mm] eine Alternative anbieten.
Ein echtes Problem ist das nicht, aber der Weg oben ist doch der etwas bequemere.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Sa 12.11.2011 | | Autor: | leduart |
Letzte Antwort von mir, falls du weiter so patzig bist. Ich hoff auch andere denken so!
Das mit dem [mm] 4/\epsilon [/mm] hab ich erklärt.
dass [mm] 4/\epsilon [/mm] i.A keine nat, Zahl ist, wurde dir gesagt. dass N i..A eine natürliche Zahl bezeichnet solltest du wissen.
durch := kann man ncht ne reelle Z zur natürlichen deklarieren.
wurde alles schon gesagt.
Kein Gruss, kein Danke, kein Kommentar zur Hilfe!
was denkst du, wie wir uns über solche Frager freuen?
Gruss leduart
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> Das mit dem $ [mm] 4/\epsilon [/mm] $ hab ich erklärt.
> dass $ [mm] 4/\epsilon [/mm] $ i.A keine nat, Zahl ist, wurde dir gesagt. dass N i..A > eine natürliche Zahl bezeichnet solltest du wissen
dass ist mir vollkommen klar.
also wenn ich hernehme N= 4/ [mm] \varepsilon [/mm] - 1 muss ich epsilon beschränken auf [mm] \varepsilon [/mm] < 4, wenn ich herneme N = 4/ [mm] \varepsilon [/mm] muss ja nur [mm] \varepsilon> [/mm] 0 sein, was es laut Def sowieso ist. Also gelten doch beide Bezcihnungen als Antwort? Wieso ist meine also falsch?
Das N eine natürliche zahl sein muss ist klar. und wie kann ich jetzt sagen, dass N = 4/ [mm] \varepsilon [/mm] eine natürliche zahl ist?
Es tut mir leid um die vielen Fragen, aber ich möchte es selbst verstehen.
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> > Das mit dem [mm]4/\epsilon[/mm] hab ich erklärt.
> > dass [mm]4/\epsilon[/mm] i.A keine nat, Zahl ist, wurde dir
> gesagt. dass N i..A > eine natürliche Zahl bezeichnet
> solltest du wissen
>
> dass ist mir vollkommen klar.
> also wenn ich hernehme N= 4/ [mm]\varepsilon[/mm] - 1 muss ich
> epsilon beschränken auf [mm]\varepsilon[/mm] < 4, wenn ich herneme
> N = 4/ [mm]\varepsilon[/mm] muss ja nur [mm]\varepsilon>[/mm] 0 sein, was es
> laut Def sowieso ist. Also gelten doch beide Bezcihnungen
> als Antwort? Wieso ist meine also falsch?
>
> Das N eine natürliche zahl sein muss ist klar. und wie
> kann ich jetzt sagen, dass N = 4/ [mm]\varepsilon[/mm] eine
> natürliche zahl ist?
wüsste nicht, dass wir irgendwo [mm] N=\frac{4}{\varepsilon} [/mm] gesetzt haben. Es war nur davon die Rede, dass [mm] N\blue{>}\frac{4}{\varepsilon}.
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 Sa 12.11.2011 | | Autor: | theresetom |
Ich galub ich hab verstanden. ..So in etwa.
Drängeln war nicht fair, aber ich hab grade ziemlichen Zeitdruck. Weiß, dass Helfen auf freiwilliger Basis ist und dass schätze ich auch. Aber die Hilfestellungen sind manchmal nicht wirklich hilfreich und dann ist man mal genervt
DANKE, schönen tag noch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo theresetom!
Kannst Du uns mal verraten, was das soll? Zum einen verstehe ich nicht, warum man im nachhinein hier seine Fragen unkenntlich macht, nachdem man ja wunderbar seine Hilfeleistung erhalten hat. Das ist für mich eine dreiste Form von Egoismus!
Aber dann noch zu behaupten "aus Versehen", und das noch bei diversen Artikeln! Das ist in meinen Augen (sorry für diese Wortwahl) Verarschung und ein Tritt in den Allerwertesten aller derjenigen, welche Dir zuvor noch geholfen haben.
Da wir in diesem Form auf Umgangston sowie freundlichen und fairen Umgang miteinander Wert legen, sollte dies bitte das letzte Mal gewesen sein.
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Auch hier habe ich keine Mühen gescheut, Dein Versehen zu korrigieren und den alten Zustand wieder für alle sichtbar gemacht.
Gruß
Loddar
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