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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:27 Di 22.02.2011 | | Autor: | LadyVal |
| Aufgabe | Das Wachstum einer Forellenart wird statistisch ausgewertet (vlg. Tabelle):
Lebenszeit (in Monaten): 2 4 6 8 10
Länge (in cm): 6,6 11,2 14,7 17,8 18,8
a) Ermitteln Sie mit Hilfe von Wertepaaren eine Funktion mit f(t) = S (1-e^-{kt}), die das Wachstum der Fische beschreibt. Wie groß sind die Fische im Mittel nach 1 Jahr?
b) Welche durchschnittliche Länge hat eine ausgewachsene Forelle?
c) Wann ungefähr ist eine Forelle ausgewachsen? Wann erreicht sie 95% einer ausgewachsenen Forelle? |
Beim Aufgabenteil a) habe ich mit den Werten von t = 2 und t = 4 Monaten für
k den Wert 0,5(78...?) erhalten und für S den Wert 21,... cm.
(Ich habe die Rechnung gerade leider nicht vorliegen, kann mich aber dunkel an diese Ergebnisse erinnern).
Wie groß die Fische im Mittel nach 1 Jahr sind, lässt sich dann, wenn man die Werte für S und k einsetzt und t =12 setzt, ja einfach ausrechnen.
Beim Aufgabenteil b hänge ich.
Die durchschnittliche Länge wird wohl nicht die Schranke sein, weil ja dann, um den Durchschnitt = Schranke zu erhalten, ja auch ein paar Fische größer als die Schranke sein müssten, was ja aber nicht geht.
Wie also komme ich auf die durchschnittliche Länge eines ausgewachsenen Fisches?
Aufgabenteil c ist mir wieder recht klar, sobald ich b gelöst habe...
Mag mir wer weiterhelfen? Ich würde mich jedenfalls sehr freuen. (Danke!)
Sehr herzlich
Val
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Hallo LadyVal,
> Das Wachstum einer Forellenart wird statistisch ausgewertet
> (vlg. Tabelle):
>
> Lebenszeit (in Monaten): 2 4 6 8 10
> Länge (in cm): 6,6 11,2 14,7 17,8
> 18,8
>
> a) Ermitteln Sie mit Hilfe von Wertepaaren eine Funktion
> mit f(t) = S (1-e^-{kt}), die das Wachstum der Fische
> beschreibt. Wie groß sind die Fische im Mittel nach 1
> Jahr?
> b) Welche durchschnittliche Länge hat eine ausgewachsene
> Forelle?
> c) Wann ungefähr ist eine Forelle ausgewachsen? Wann
> erreicht sie 95% einer ausgewachsenen Forelle?
> Beim Aufgabenteil a) habe ich mit den Werten von t = 2 und
> t = 4 Monaten für
> k den Wert 0,5(78...?) erhalten und für S den Wert 21,...
> cm.
Ich erhalte hier andere Werte: [mm] k \approx 0.1805, \ S \approx 21.78[/mm]
Ich weiss nicht ob hier zwei Wertepaare reichen,
um die Unbekannten k und S zu ermitteln.
Normalerweise würde man hier die Kleinste Quadrate Methode anwenden.
Dies führt allerdings auf das Lösen von nicht linaren Gleichungen.
> (Ich habe die Rechnung gerade leider nicht vorliegen, kann
> mich aber dunkel an diese Ergebnisse erinnern).
> Wie groß die Fische im Mittel nach 1 Jahr sind, lässt
> sich dann, wenn man die Werte für S und k einsetzt und t
> =12 setzt, ja einfach ausrechnen.
>
> Beim Aufgabenteil b hänge ich.
> Die durchschnittliche Länge wird wohl nicht die Schranke
> sein, weil ja dann, um den Durchschnitt = Schranke zu
> erhalten, ja auch ein paar Fische größer als die Schranke
> sein müssten, was ja aber nicht geht.
> Wie also komme ich auf die durchschnittliche Länge eines
> ausgewachsenen Fisches?
>
> Aufgabenteil c ist mir wieder recht klar, sobald ich b
> gelöst habe...
>
> Mag mir wer weiterhelfen? Ich würde mich jedenfalls sehr
> freuen. (Danke!)
>
> Sehr herzlich
> Val
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:54 Sa 12.03.2011 | | Autor: | LadyVal |
hey, danke fuer Deine antwort.
wie allerdings kommt Du auf den wert von k?
wenn ich mir ein gleichungssystem aus der 1. und 2. angabe bastel, erhalte ich:
[mm] \bruch{6,6}{11,2} [/mm] = [mm] \bruch{1-e^{2k}}{1-e^{4k}}
[/mm]
durch weiteres umformulieren bekomme ich:
0 = [mm] 6,6e^{4k} [/mm] - [mm] 11,2e^{2k} [/mm] + 4,6
Weiter substituiere ich z = [mm] e^{2k} [/mm] und wende die a,b,c-Formel an:
[mm] z_{1;2} [/mm] = [mm] \bruch{11,2 \pm 2} [/mm] {11,2}
=>
[mm] z_{1} [/mm] = 1,1785
und [mm] z_{2} [/mm] = 0,821
Dann gehts weiter mit Resub.
Soweit erst einmal richtig? Vermutlich ja nicht, wenn Dein k stimmt.. :(
Viele Grüße
val
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Pappus |
Guten Morgen!
> wie allerdings kommt Du auf den wert von k?
> wenn ich mir ein gleichungssystem aus der 1. und 2. angabe
> bastel, erhalte ich:
> [mm]\bruch{6,6}{11,2}[/mm] = [mm]\bruch{1-e^{2k}}{1-e^{4k}}[/mm]
Aus [mm] $\dfrac{11,2}{6,6}=\dfrac{1-e^{4k}}{1-e^{2k}}~\implies~\dfrac{56}{33}=1+e^{2k}$
[/mm]
Ich habe hier die 3. bin Formel benutzt. Du kannst jetzt k berechnen. Dein Wert stimmt nicht.
> durch weiteres umformulieren bekomme ich:
> 0 = [mm]6,6e^{4k}[/mm] - [mm]11,2e^{2k}[/mm] + 4,6
> Weiter substituiere ich z = [mm]e^{2k}[/mm] und wende die
> a,b,c-Formel an:
> [mm]z_{1;2}[/mm] = [mm]\bruch{11,2 \pm 2}[/mm] {11,2}
> =>
> [mm]z_{1}[/mm] = 1,1785
> und [mm]z_{2}[/mm] = 0,821
Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind $z = [mm] 1~\vee~z=\frac{23}{33}$
[/mm]
Wie Du auf Deine Lösung gekommen bist, lässt sich anhand Deines Textes nicht rekonstruieren.
>
> Dann gehts weiter mit Resub.
> Soweit erst einmal richtig? Vermutlich ja nicht, wenn Dein
> k stimmt.. :(
>
> Viele Grüße
> val
>
Gruß
Pappus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Sa 12.03.2011 | | Autor: | LadyVal |
hey,
ich danke Euch allen!
Versuche Eure Antworten nachzuvollziehen u stelle bei weiteren Problemen vermutlich die eine oder andere Rückfrage. Ich hoffe allerdings, dass es soweit nicht kommt *g*
VlG Val
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:21 Sa 12.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Das Wachstum einer Forellenart wird statistisch ausgewertet
> (vlg. Tabelle):
>
> Lebenszeit (in Monaten): 2 4 6 8 10
> Länge (in cm): 6,6 11,2 14,7 17,8
> 18,8
>
> a) Ermitteln Sie mit Hilfe von Wertepaaren eine Funktion
> mit f(t) = S (1-e^-{kt}), die das Wachstum der Fische
> beschreibt. Wie groß sind die Fische im Mittel nach 1
> Jahr?
> b) Welche durchschnittliche Länge hat eine ausgewachsene
> Forelle?
> c) Wann ungefähr ist eine Forelle ausgewachsen? Wann
> erreicht sie 95% einer ausgewachsenen Forelle?
> Beim Aufgabenteil a) habe ich mit den Werten von t = 2 und
> t = 4 Monaten für
> k den Wert 0,5(78...?) erhalten und für S den Wert 21,...
> cm.
> (Ich habe die Rechnung gerade leider nicht vorliegen, kann
> mich aber dunkel an diese Ergebnisse erinnern).
> Wie groß die Fische im Mittel nach 1 Jahr sind, lässt
> sich dann, wenn man die Werte für S und k einsetzt und t
> =12 setzt, ja einfach ausrechnen.
>
> Beim Aufgabenteil b hänge ich.
> Die durchschnittliche Länge wird wohl nicht die Schranke
> sein, weil ja dann, um den Durchschnitt = Schranke zu
> erhalten, ja auch ein paar Fische größer als die Schranke
> sein müssten, was ja aber nicht geht.
> Wie also komme ich auf die durchschnittliche Länge eines
> ausgewachsenen Fisches?
Hallo,
auch die Werte der vorgegebenen Tabelle sind keine individuellen Werte eines einzelnen Fischs. Es sind ebenfalls Durchschnittswerte für den jeweiligen Zeitpunkt. Du sollst wohl tatsächlich nur die obere Schranke für diese Folge von Durchschnittswerten angeben.
Gruß Abakus
>
> Aufgabenteil c ist mir wieder recht klar, sobald ich b
> gelöst habe...
>
> Mag mir wer weiterhelfen? Ich würde mich jedenfalls sehr
> freuen. (Danke!)
>
> Sehr herzlich
> Val
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Sa 12.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Aufgabe a)
Du kannst Die Koeffizienten k und S nicht nur aus zwei zufällig ausgewählten Wertepaaren berechnen. Wie Mathepower geschrieben hat, musst Du alle 5 Wertepaare benutzen. Dazu berechnest Du folgendes
[mm] \epsilon(S,k)=\summe_{i=1}^{n}\left[f(S,k,t_i)-y_i\right]^2 [/mm] und minimierst diese Summe für die Parameter S und k.
Ich habe das numerisch gemacht und zwar mit verschiedenen Verfahren (Newton, Gradienten-Verfahren).
In der Grafik habe ich dann die Ergebnisse dargestellt.
Die blaue Kurve entspricht Deinen Parametern (S=21, k=0.5)
Die grüne Kurve entspricht der Kurve von Mathepower (S=21.78, k=0.1805)
Die rote Kurve entspricht meinen Parametern (S=23.817, k=0.162)
Die Rauten sind die empirischen Vorgaben Deiner Tabelle.
Wie man sieht, approximiert die rote Kurve am besten die empirischen Vorgaben und die blaue am schlechtesten.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aufgabe b)
Hier würde ich auch den oberen Grenzwert der Funktion [mm] f(S,k,t)=S*\left(1-e^{-kt}\right) [/mm] berechnen. Da die Funktion monoton wachsend ist ist der Grenzwert S.
Aufgabe c)
Hier muss man die Gleichung f(S,k,t)=95%*S nach t auflösen. Ich habe für t erhalten t=18.508 wenn S=23.817 und k =0.162 ist.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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