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| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob folgende Mengen M [mm] \subseteq \IR [/mm] nach oben bzw. nach unten beschränkt sind, und bestimmen Sie ggf. sup M und inf M. Stellen Sie weiter fest, ob M ein Maximum oder ein Minimum besitzt.
a) M= { x [mm] \in \IR [/mm] | [mm] x^2 \le [/mm] 10 }
b) M= { x [mm] \in \IR [/mm] | [mm] x^3 [/mm] < 27 }
c) M= { 1 + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] | n [mm] \in \IN [/mm] }
d) M= { 1 - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^m} [/mm] | n,m [mm] \in \IN [/mm] } |
Hallo, ich hab grade diese Aufgabe bearbeitet und würde gern wissen ob ich das richtig verstanden habe, oder ob ich da groben Unfug mache  Also z.B. bei Aufg b)
M= { x [mm] \in \IR [/mm] | [mm] x^3 [/mm] < 27 }
M= { x [mm] \in \IR [/mm] | x < 3 } darf ich diese Umformung ohne weiteres machen?
Dann ist M nach oben beschränkt durch 3, die Menge der oberen Schranken ist [3, [mm] \infty), [/mm] nach unten ist M nicht beschränkt.
Supremum ist 3 und es gibt kein Maximum.
Ist das so richtig und falls ja, muss ich es noch weiter begründen?
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 So 20.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Entscheiden Sie, ob folgende Mengen M [mm]\subseteq \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nach
> oben bzw. nach unten beschränkt sind, und bestimmen Sie
> ggf. sup M und inf M. Stellen Sie weiter fest, ob M ein
> Maximum oder ein Minimum besitzt.
> a) M= { x [mm]\in \IR[/mm] | [mm]x^2 \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
10 }
> b) M= { x [mm]\in \IR[/mm] | [mm]x^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
< 27 }
> c) M= { 1 + [mm]\bruch{1}{n}[/mm] | n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> d) M= { 1 - [mm]\bruch{1}{n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2^m}[/mm] | n,m [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Hallo, ich hab grade diese Aufgabe bearbeitet und würde
> gern wissen ob ich das richtig verstanden habe, oder ob ich
> da groben Unfug mache Also z.B. bei Aufg b)
> M= { x [mm]\in \IR[/mm] | [mm]x^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
< 27 }
> M= { x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| x < 3 } darf ich diese Umformung ohne
> weiteres machen?
ja, das darfst Du. Das folgt zum Beispiel sofort deswegen, weil $x^3 < 27 \gdw x < 3$.
Strenggenommen kann man das formal z.B so machen:
Du behauptest:
Mit $M:=\{x \in \IR, x^3 < 27\}$ und $T:=\{x \in \IR: x < 3\}$ gilt $M=T$, denn:
1.) Es ist $M \subseteq T$:
Es gilt nämlich für jedes beliebige, feste $m \in M$:
$m \in M \Rightarrow m \in \IR$ und $m^3 < 27 \Rightarrow m < 3$ (das kann man z.B. mittels $x \mapsto \wurzel[3]{x}$ und gewissen Eigenschaften dieser Funktion begründen) $\Rightarrow m \in T$.
Eine andere Möglichkeit wäre es hier, z.B. zu sagen:
Anstatt $x^3 < 27 \Rightarrow x < 3$ zeigen wir die Kontraposition:
$x \ge 3 \Rightarrow x^3 \ge 27$. Das könntest Du z.B. hier machen, um so Dinge wie die 3e Wurzel zu vermeiden, falls das noch nicht bekannt ist usw...
2.) Es ist $T \subseteq M$:
Für jedes beliebige, festes $t \in T$ gilt:
$t \in T \Rightarrow t \in \IR$ und $t < 3 \Rightarrow t^3 < 27 \Rightarrow t \in M$.
Das wäre sehr ausführlich, eigentlich sogar zu ausführlich. Denn wenn Du die Cantorsche Mengenlehre verstanden hast, dann ist, weil für jedes $x \in \IR$ eben $x < 3 \gdw x^3 < 27$ gilt, einfach klar, dass $M=T$.
> Dann ist M nach oben beschränkt durch 3, die Menge der
> oberen Schranken ist [3, [mm]\infty),[/mm] nach unten ist M nicht
> beschränkt.
Das ist absolut richtig. Wie würdest Du denn beweisen, dass die Menge nach unten nicht beschränkt ist? Man könnte es hier so machen, dass man annimmt, es gäbe eine untere Schranke $s [mm] \in \IR$ [/mm] (mit $s < 3$) und zeigt dann z.B., dass dann aber $s-1 [mm] \in [/mm] M$ ist, und offenbar ist $s-1 < s$, woraus ein Widerspruch folgte.
> Supremum ist 3 und es gibt kein Maximum.
Auch das ist korrekt und eigentlich offensichtlich. Wie würdest Du denn zeigen, dass es kein Maximum gibt? Und wie würdest Du zeigen, dass $3$ das Supremum ist? Ich meine, wegen Deiner Umformung ist das ganz trivial, aber man sollte das auch für die Menge $T$ notieren können, ganz gleich, wie trivial es erscheint.
> Ist das so richtig und falls ja, muss ich es noch weiter
> begründen?
Wie genau Du das begründen musst, hängt von dem Korrektor ab. Ich selbst bin halt der Ansicht, man sollte wenigstens seine Behauptungen plausibel machen. Wenn Du ganz präzise arbeitest, müsstest Du eigentlich jede Deiner Behauptungen auch (kurz) beweisen (bzw. wenigstens stichwortartig begründen). Wenn man nun in die Aufgabenstellung schaut, wie die Aufgabe formuliert ist, kann man sich vermutlich wieder drum streiten, ob es reicht, zu sagen: "Das Supremum ist $3$, die Menge hat kein Maximum..."
Mir selbst wäre hier mit Deiner Umformung [mm] $x^3 [/mm] < 27 [mm] \gdw [/mm] x < 3$ eigentlich schon genug getan, denn dann erkennt man, dass
[mm] $\{x \in \IR: x^3 < 27\}=(-\infty,3)$ [/mm] und bei dem Intervall rechterhand läßt sich nun wirklich eigentlich alles ablesen, ggf. findest Du da sogar auch was in der Vorlesung zu Intervallen dieser Art (abgeschlossene Intervalle, halboffene Intervalle etc.).
Gruß,
Marcel
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