Berührpunkt zweier Funktionen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Do 08.02.2007 | | Autor: | TopHat |
| Aufgabe | | wie muss a gewählt werden, damit [mm] f(x)=e^x [/mm] und [mm] g(x)=ax^3 [/mm] sich berühren. Bestimmen sie den Berührpunkt. |
Also die Ableitungen habe ich gebildet:
[mm] f'(x)=e^x [/mm] g'(x)= [mm] 3ax^2
[/mm]
Ich weiß, dass beim Berührpunkt diese beiden Ableitungen gleich sein müssen. Und ich weiß, dass der Berührpunkt irgendwo bei x>0 und y>0 sein muss.
Wenn ich die Funktionen nun gleichsetze:
f(x)=g(x)
[mm] e^x=ax^3
[/mm]
komme ich auf
[mm] a=\bruch{e^x}{x^3}
[/mm]
Das bringt mir jetzt aber gar nichts, denn ich muss doch a konkret bestimmen? Wie kann ich das denn machen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Do 08.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du sollst ja a und x so bestimmen, dass sich f(x) und g(x) berühren.
Also muss, wie du schon richtig erkannt hast, gelten f(x)=g(x)
Das heisst, [mm] e^{x}=ax³
[/mm]
Aber, da sie sich berühren sollen, müssen sie an der Stelle x die gleiche Steigung haben, also muss zusätzlich gelten:
f'(x)=g'(x)
Also
[mm] e^{x}=3ax²
[/mm]
Jetzt hast du also folgende beiden Bedingungen
[mm] e^{x}=ax³
[/mm]
[mm] e^{x}=3ax²
[/mm]
Hilft das erstmal weiter?
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Do 08.02.2007 | | Autor: | TopHat |
also muss x=3 gelten, für a [mm] also\bruch{e^3}{27} [/mm] bzw
a = [mm] (\bruch{e}{3})^3
[/mm]
und für f(3)= [mm] e^3
[/mm]
denke ich mal.
Danke für die schnelle Antwort.
|
|
|
| |
|
Hallo TopHat!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das stimmt soweit.
Du solltest m.E. allerdings noch ein Wort darüber verlieren, dass die rechnerische Lösung $x \ = \ 0$ aus der Bestimmungsgleichung [mm] $a*x^3 [/mm] \ = \ [mm] 3a*x^2$ [/mm] kein Berührpunkt der beiden Funktionen ist.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Do 08.02.2007 | | Autor: | TopHat |
ja stimmt, aber um ehrlich zu sein, sieht man doch, dass die eine Funktion bei x=0 den Funktionswert 0 und die andere Funktion den Wert 1 hat. Aber danke für den Tipp.
|
|
|
|
