Berührpunkt Parabel - Tangente < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mi 04.04.2007 | | Autor: | mnani |
| Aufgabe | Hallo zusammen,
bei folgender Aufgabe komme ich einfach nicht weiter. Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann. Vielen Dank schon einmal vorab.
Gegeben ist die Parabelfunktion f (x) = 1/2x2 mit dem Schaubild K. Bestimme diejenige Tangenete an K, die den Punkt P (1/-4) enthält und ihren Berührpunkt im ersten Quadranten hat. Berechne den Berührpunkt und gib die Tangentengleichung an.
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Wenn ich den Berührpunkt hätte, dann wäre die Gleichung kein Problem mehr, aber so? Wie berechne ich den Berührpunkt?
Nochmas danke und Gruß,
MNani
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mnani,
nimm die allg. Gleichung einer Tangente an einem Punkt [mm] B=(x_0/f(x_0) [/mm] des Graphen von f:
[mm] t(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)
[/mm]
Dazu berechne [mm] f(x_0) [/mm] und [mm] f'(x_0) [/mm] und setze ein.
Dann weißt du, dass der Graph von t durch P=(1/-4) geht, also f(1)=-4
Das bringt die zwei Lösungen für das gesuchte [mm] x_0.
[/mm]
(es gibt ja auch zwei Tangenten an f, die durch P gehen - Skizze!!)
Die setzt du in f ein und schaust, welche der beiden einen Punkt im ersten Quadranten liefert.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mi 04.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Hallöchen ich häng mich dann grad mal hier ran. Hab mich gerade auch mal mit der aufgabe beschäftigt und komm damit trotz der erklärung nicht zurande :(.
Hast du die allgemeine tangentengleichung mit der " Zei Punkte Formel berechnet"? Oder was ist das für eine Funktion die du da genannt hast?
LG Susi
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Hallo Susanne,
das ist die ganz allg. Formel einer Tangente an f im Punkt [mm] (x_0/f(x_0)
[/mm]
und ergibt natürlich eine lineare Funktion der Form mx+b,
aber ich finde diese allg. Form günstiger, weil man da (fast) nichts beachten muss und "stumpf" einsetzen kann 
Man kann die Aufgabe auch über die Tangentenform T(x)=mx+b angehen - ist Geschmackssache
schau mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Tangente
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Mi 04.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Na ja aber könnte man es theoretisch mit 2 Punkte bzw Punkt steigungsformel machen? Habs versucht aber na ja.
f(x) = 1/2 * [mm] x^2
[/mm]
P(1/-4)
B(a / f(a))
f´(x) = x
f´(a) = a > Steigung Tangente
y - y1
------------- = a
x - x1
y + 4
--------- = a
x - 1
y = ax -a - 4
so steht das bei mir bis jetzt. Habe aber sher stark den verdacht das das nur unsinn ist. Das kommt raus wenn man ferien für mathe nutzt. Kann mir bitte jemand sagen wo der fehler ist bzw wies weiter gehn soll :)
LG Susi
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Hi, Susi,
> Na ja aber könnte man es theoretisch mit 2 Punkte bzw Punkt
> steigungsformel machen? Habs versucht aber na ja.
>
> f(x) = 1/2 * [mm]x^2[/mm]
> P(1/-4)
> B(a / f(a))
Wobei B auf der Parabel liegt; daher: B(a / [mm] 1/2a^{2})
[/mm]
> f´(x) = x
> f´(a) = a > Steigung Tangente
> y - y1
> ------------- = a
> x - x1
Hier musst Du nun beide Punkte einsetzen, also P und B
> y + 4
> --------- = a
> x - 1
Stattdessen ergibt sich dann:
[mm] \bruch{1/2a^{2} + 4}{a - 1} [/mm] = a
Daraus: [mm] 1/2a^{2} [/mm] + 4 = a*(a - 1)
[mm] 1/2a^{2} [/mm] + 4 = [mm] a^{2} [/mm] - a
Umgeformt:
[mm] 1/2a^{2} [/mm] - a - 4 = 0
[mm] a^{2} [/mm] - 2a - 8 = 0
pq-Formel ergibt:
[mm] a_{1} [/mm] = -2; [mm] a_{2} [/mm] = 4
Womit Du die beiden möglichen x-Koordinaten des Punktes B berechnet hast.
Der Rest ergibt sich eher problemlos!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Mi 04.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Mi 04.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Danke für die erklärung :). Meine frage hat sich damit erübrigt.
LG Susi
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hi schachuzipus,
ich habe da auch mal 'ne Frage. Gilt diese Gleichung einer Tangente nicht nur, wenn der Punkt auf dem Graphen liegt ?? Hier ist es doch so, dass der Punkt nur auf der Tangente und nicht auf f liegen soll, oder irr ich mich ??
Bis denne
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Hi,
du irrst dich
Für [mm] \bold{jeden} [/mm] Punkt [mm] B=(x_0/f(x_0)) [/mm] des Graphen f lautet die Gleichung der Tangente in diesem Punkt B wie oben.
gesucht ist halt der spezielle Punkt [mm] B_1=(x_1/f(x_1)), [/mm] an dem die Tangente durch P=(1/-4) den Graphen von f berührt
Mit der Zusatzbedingung, dass die Tangente durch P=(1/-4) geht, rechnet man das [mm] x_0 [/mm] (bzw. [mm] x_1) [/mm] aus.
Versuch's mal - sollten 2 Lösungen rauskommen
Gruß
schachuzipus
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hi,
ist der punkt B, denn nun der Berührpunkt oder der Punkt (1/-4) ??
Berechne ich f(1) und f'(1) ??
Das wären ja dann f(1)=0,5 und f'(1)=1, dementsprechend eingesetzt:
t(x)=f(1)-f'(1)*(x-1)
t(x)=x-0,5
Das kann doch nicht stimmen.. wo is mein fehler
Bis denn
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Hi,
ohoh große Verwirrung - das wollte ich nicht.
Also zunächst liegt P=(1/-4) nicht auf dem Graphen von f.
Nehmen wir mal an, die gesuchte Tangente berühre den Graphen von f im Punkt [mm] B=(x_1/f(x_1))
[/mm]
Dann ist nach der Formel [mm] t(x)=f(x_1)+f'(x_1)(x-x_1)=\frac{1}{2}x_1^2+x_1(x-x_1)=\frac{1}{2}x_1^2+x_1x-x_1^2=-\frac{1}{2}x_1^2+x_1x
[/mm]
So diese Tangente durch [mm] B=(x_1/f(x_1)) [/mm] soll nun auch durch [mm] $P=(\red{1}/\green{-4})$ [/mm] gehen,
also [mm] t(\red{1})=-\frac{1}{2}x_1^2+x_1\cdot{}\red{1}=\green{-4}
[/mm]
Damit berechnest du deine Stelle [mm] x_1, [/mm] die du nachher wieder in f einsetzt und erhältst den gewünschten Berührpunkt.
Nun etwas klarer?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Mi 04.04.2007 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
sry für meine blindheit... Ich habs raus ^^ Tut mir leid. =)
Bis denn und vielen dank für deine mühe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:51 Do 05.04.2007 | | Autor: | mnani |
Hallo zusammen,
ich danke Euch für die rege Diskussion.
Ihr habt mir sehr geholfen.
Frohe Ostern!
MNani
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Hallo nochmal,
vllt. ist eine kurze Erläuterung der Formel hilfreich:
Nun die Steigung der Tangente ist doch der Grenzwert der Sekantensteigungen [mm] \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)
[/mm]
Die Sekanten durch (x/f(x)) und [mm] (x_0/f(x_0)) [/mm] werden für [mm] x\rightarrow x_0 [/mm] zu einer Tangente an [mm] (x_0/f(x_0))
[/mm]
Damit ergibt sich durch Umforung: [mm] f'(x_0)(x-x_0)=f(x)-f(x_0),
[/mm]
also [mm] f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0), [/mm] dh die Funktion f wird in [mm] x_0 [/mm] durch die lineare Funktion [mm] y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) [/mm] linear approximiert
Gruß
schachuzipus
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