Berührpunkt Häufungspunkt < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Jeder Berührpunkt einer Menge, der nicht in der Menge liegt, ist Häufungspunkt der Menge. |
Also, so wie ich die Aufgabe verstanden habe, wird da doch nach den Randpunkten der Menge gefragt, wenn es ein offenes Intervall ist, oder habe ich das falsch verstanden? Aber wie kann ich das allgemein beweisen, bzw. was ist hierbei der Ansatz? Weil mit einem Beispiel wäre es ja kein Problem, aber da ich es allgemein beweisen soll bin ich leider bisschen verwirrt. Danke schonmal im Voraus für jeden Tipp =)
P.S.: Habe im Forum leider keinen Beitrag zu diesem Thema gefunden, also wäre ich sehr froh, wenn mich notfalls jemand auf einen eventuell doch existenten Beitrag hinweisen würde. Danke.
P.P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 So 11.12.2011 | | Autor: | hippias |
Verrate uns doch einmal, wie ihr Beruehrpunkt und Haeufungspunkt genau definiert habt.
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| Aufgabe | Berührpunkt: Ein Punkt x [mm] \in \IR [/mm] heißt Berührpunkt einer Menge A genau dann, wenn in jeder [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung von x mindestens ein Element von der Menge A liegt.
Häufungspunkt: Ein Punkt x [mm] \in \IR [/mm] heißt Häufungspunkt der Menge A genau dann, wenn [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 gilt (punktierte epsilon-umgebung) (x) [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset [/mm] . |
(Sorry, weiß leider ned, wie die punktierte Epsilon-Umgebung richtig geschrieben wird)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 So 11.12.2011 | | Autor: | hippias |
Gut, damit ist der Beweis doch fast fertig: Sei $x$ ein Beruehrpunkt von $M$, der nicht in $M$ liegt. Zu zeigen ist: [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0$ gilt (punktierte epsilon-umgebung) (x) [mm] $\cap[/mm] [/mm] A [mm] \not= \emptyset$.
[/mm]
Dazu sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ... Jetzt bist Du dran: Nach Voraussetzung ist $x$ ein Beruehrpunkt von $M$. Was das genau bedeutet, hast Du mir ja eben mitgeteilt. Insbesondere weisst Du dadurch etwas ueber Elemente von $M$ und der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $x$. Gilt dies auch fuer die punktierten Umgebung, die uns ja eigentlich interessiert? Beachte dabei, dass [mm] $x\not\in [/mm] M$ vorausgesetzt ist.
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Also erstmal dankeschön. Das hab ich alles soweit verstanden, nur ich komm jetzt einfach nicht drauf, wie ich das schreiben könnte. Könntest du mir eventuell noch einen kleinen Tipp geben? Weil dadurch, dass x nicht in A liegen darf, muss ja x ein Randpunkt sein. Und laut Definition sind ja dann hier all die Häufungspunkte gemeint, die zwar in der punktierten epsilon-umgebung von x sind, aber nicht in A, dh [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] : x [mm] \in [/mm] (punktierte epsilon-umgebung) (x) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A . Aber wie bringt das mich jetzt auf die Lösung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Mo 12.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] x_0 \notin [/mm] A ein Berührpunkt von A. Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] Dann ist $A [mm] \cap U_{\varepsilon}(x_0) \ne \emptyset$
[/mm]
[mm] (U_{\varepsilon}(x_0) [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung von [mm] x_0)
[/mm]
Da [mm] x_0 \notin [/mm] A, ist $A [mm] \cap U_{\varepsilon}(x_0) [/mm] = A [mm] \cap (U_{\varepsilon}(x_0) \setminus \{x_0\})$
[/mm]
Somit ist
$ A [mm] \cap (U_{\varepsilon}(x_0) \setminus \{x_0\}) \ne \emptyset$.
[/mm]
Da [mm] \varepsilon>0 [/mm] beliebig war, ist [mm] x_0 [/mm] Häufungspunkt von A
FRED
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