Berührpunkt / Häufungspunkt < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:32 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe das Problem ,dass ich irgendwie bei den Definitionen der folgenden Begriffe die wesentlichen Unterschiede nicht erkenne und einige Fragen dazu habe.
Definition :
Sei X ein metrischer Raum, [mm] A \subseteq X , \ x \in X [/mm].
1. Dann heißt x Berührpunkt von A, wenn jede Umgebung von x einen Punkt von A enthält.
2. Dann heißt x Häufungspunkt von A, wenn jede Umgebung von x einen von x verschiedenen Punkt von A enhält.
1. Frage :
Besteht der wesentlichen Unterschied dabei, dass das x als Berührpunkt auch Element von A sein darf, und als Häufungspunkt nicht?
Hier ist immer die Rede von einen Punkt. Könne auch mehrere Punkte in
der Umgebung sein???
Und dann gab es im Anschluss daran eine Bemerkung:
Bemerkung :
x ist Berührpunkt [mm] \gdw \ x \in A [/mm] oder x ist Häufungspunkt von A.
Versteh ich das richtig, dass wenn x Berührpunkt von A ist, er nur dann Häufungspunkt von A ist , wenn er nicht Element A ist???
Und wie kann ich mir den Unterschied graphisch vostellen?
Viele liebe Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:03 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Irmchen,
> Hallo alle zusammen!
>
> Ich habe das Problem ,dass ich irgendwie bei den
> Definitionen der folgenden Begriffe die wesentlichen
> Unterschiede nicht erkenne und einige Fragen dazu habe.
>
> Definition :
>
> Sei X ein metrischer Raum, [mm]A \subseteq X , \ x \in X [/mm].
>
> 1. Dann heißt x Berührpunkt von A, wenn jede Umgebung von x
> einen Punkt von A enthält.
>
> 2. Dann heißt x Häufungspunkt von A, wenn jede Umgebung
> von x einen von x verschiedenen Punkt von A enhält.
>
>
> 1. Frage :
>
> Besteht der wesentlichen Unterschied dabei, dass das x als
> Berührpunkt auch Element von A sein darf, und als
> Häufungspunkt nicht?
nein. Häufungspunkte können sehr wohl auch Elemente von $A$ sein (Beispiel: $A=[0,1]$ in [mm] $\IR$. [/mm] Hier ist die Menge der Berührpunkte von $A$ gleich der Menge der Häufungspunkte von $A$ gleich mit $A$), nur: Sie müssen es nicht sein (es ist also i.a. nicht zu erwarten) (Beispiel: $A=(0,1]$ Hier ist (unter anderem) auch $0$ ein HP von $A$, aber $0 [mm] \notin [/mm] A$.). Was aber direkt per Definitionem folgt, ist, dass $A$ immer Teilmenge seiner Berührpunkte ist (aber i.a. nicht Teilmenge seiner Häufungspunkte).
Was wesentlich in der Definition ist:
Ein Mittelpunkt einer Umgebung (wenn $U$ eine Umgebung von $x$ ist, so meine ich damit einfach $x$) ist ja immer in seiner Umgebung enthalten. Bei der Definition mit dem Berührpunkt spricht man davon, dass man in einer jeden Umgebung $U$ von $x$ (also $U=U(x)$) Elemente von $A$ finden könne, d.h. insbesondere, wenn $x [mm] \in [/mm] A$, so ist $x$ automatisch Berührpunkt.
(Deshalb habe ich oben geschrieben: Per Definitionem ist sofort klar, dass $A$ Teilmenge seiner Berührpunkte ist.)
Bei der Definition mit Häufungspunkt spricht man davon, in einer jeden Umgebung $U=U(x)$ von $x$ verschiedene Punkte von $A$ zu finden. Mit anderen Worten: Diese Punkte müssen in $U [mm] \setminus \{x\}$ [/mm] sein, und das heißt insbesondere, dass i.a. nicht gilt, dass jedes $x [mm] \in [/mm] A$ auch Häufungspunkt von $A$ ist.
(Siehe dazu auch unten, Bsp. 1.) oder 3.).)
Also:
$A$ ist immer Teilmenge von der Menge der Berührpunkte von $A$, aber $A$ ist i.a. keine Teilmenge der Menge der Häufungspunkte von $A$. Genauso ist i.a. auch die Menge der Häufungspunkte von $A$ keine Teilmenge von $A$.
Weiterhin:
Jeder Häufungspunkt von $A$ ist auch Berührpunkt von $A$, aber umgekehrtes gilt i.a. nicht.
> Hier ist immer die Rede von einen Punkt. Könne auch
> mehrere Punkte in
> der Umgebung sein???
Ja. Man spricht doch mathematisch allgemein "von einem Punkt", wenn "mindestens ein Punkt" gemeint ist. Andernfalls würde man "genau ein Punkt" sagen, womit die Definitionen (würde man dort "einen" durch "genau einen" ersetzen) allerdings sehr sinnfrei wären (insbesondere die des HP's), wenn Du Dir das mal überlegst. Denn wenn ich die Umgebung beliebig verkleinere...
> Und dann gab es im Anschluss daran eine Bemerkung:
>
> Bemerkung :
>
> x ist Berührpunkt [mm]\gdw \ x \in A[/mm] oder x ist Häufungspunkt
> von A.
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> Versteh ich das richtig, dass wenn x Berührpunkt von A ist,
> er nur dann Häufungspunkt von A ist , wenn er nicht
> Element A ist???
>
> Und wie kann ich mir den Unterschied graphisch vostellen?
Ich will mal nicht direkt weiter auf Deine Frage eingehen, weil es wichtig ist, dass Du Dir die Aussagen und Unterschiede mal selbst klar machst.
(Und vll. findest Du dann Aussagen wie:
$x [mm] \in [/mm] X$ ist genau dann Häufungspunkt von $A$, wenn es eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in $A$ gibt, so dass [mm] $a_n \not=x$ [/mm] für alle $n$ und [mm] $a_n \to [/mm] x$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
oder
$x [mm] \in [/mm] X$ ist genau dann Berührpunkt von $A$, wenn es eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in $A$ gibt, so dass [mm] $a_n \to [/mm] x$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Bei zweitem ist auch klar, dass jedes $a [mm] \in [/mm] A$ ein Berührpunkt von $A$ ist, weil man einfach [mm] $a_n=a$ [/mm] für alle $n$ setzen kann. Dass das bei der Charakterisierung der Häufungspunkte nicht geht, steht mit drin, weil dort [mm] $a_n \not=x$ [/mm] gefordert wird und wenn $x=a [mm] \in [/mm] A$ steht dort, dass man eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n \not=a$ [/mm] für alle $n$ und [mm] $a_n \to [/mm] a$ zu finden hat, wenn $x=a [mm] \in [/mm] A$ auch Häufungspunkt von $A$ sein sollte...)
Dazu drei Sachen:
1.) Betrachte mal [mm] $M:=\left\{\frac{1}{n}, n \in \IN\right\} \cup \left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n, n \in \IN\right\}$ [/mm] als Teilmenge des metrischen Raumes [mm] $(\IR,d_{|.|})$ [/mm] (also [mm] $\IR$ [/mm] mit der "gewöhnlichen Betragsmetrik"), insbesondere also
[mm] $M=\left\{\frac{1}{n}, n \in \IN\right\} \cup \left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n, n \in \IN\right\}\subset \IR$ [/mm]
Ich behaupte nun:
$M$ hat genau zwei Häufungspunkte, nämlich $0$ und $e$.
Die Menge der Berührpunkte ist $M [mm] \cup \{0,e\}$.
[/mm]
Kannst Du Dir das selbst irgendwie klarmachen?
2.) Nehmen wir mal [mm] $D=\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{x^2+y^2}<1\}$ [/mm] (offene Einheitskreisscheibe) her (natürlich als Teilmenge des metrischen [mm] $\IR^2$ [/mm] ausgestattet mit der euklidischen Metrik, also so, wie Du von der Schule her im [mm] $\IR^2$ [/mm] rechnest). Hier stimmt die Menge der Berührpunkte mit der Menge der Häufungspunkte von $D$ überein, beide Mengen sind
[mm] $=\overline{D}=\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{x^2+y^2} \le 1\}$
[/mm]
3.) Wenn Dir das erste oben noch unklar ist, dann betrachte vll. zunächst mal nur:
[mm] $M:=\left\{\frac{1}{n}, n \in \IN\right\}$
[/mm]
und überlege Dir vll. hier zunächst mal, warum $M$ nur den Häufungspunkt $0$ haben kann und warum die Menge der Berührpunkte hier mit $M [mm] \cup \{0\}$ [/mm] doch wesentlich größer ist.
P.S.:
Die ganzen Mengen kann man sich auch erstmal mittels Zahlenstrahl bzw. bei 2.) mittels des kartesischen Koordinatensystems ein wenig veranschaulichen und dann gucken, was man bzgl. "Berührpunktdefinition" bzw. "Häufungspunktdefinition" zu sehen glaubt. Bei 3.) z.B.
Für $x < 0$ lege ich einfach eine [mm] $\frac{|x|}{2}$-Umgebung [/mm] um $x$ und sehe, dass kein Punkt von $M$ dort reinfällt. Konsequenz: Kein $x < 0$ kann Berührpunkt oder Häufungspunkt von $M$ sein. Für $x=0$:
Lege ich mit einem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um $x=0$, so wähle ich ein $N > [mm] \frac{1}{\varepsilon}$ [/mm] und sehe, dass $0 [mm] \not=\frac{1}{N}$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{N} \in [/mm] M$ sowie dass [mm] $\frac{1}{N}$ [/mm] in dieser [mm] $\varepsilon$-Umgebung. [/mm] In jeder [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $x=0$ finden wir also (von $0$ verschiedene) Elemente aus $M$, d.h. $0$ ist sowohl Berührpunkt als auch Häufungspunkt von $M$. Dass jedes $x > 1$ weder Berührpunkt noch HP sein kann, sollte Dir nun auch klar sein (wenn Du verstanden hast, warum jedes $x<0$ weder HP noch BP sein kann). Jetzt überlege Dir mal, warum z.B. [mm] $x=\frac{3}{10}$ [/mm] weder Häufungspunkt noch Berührpunkt von $M$ sein kann (beachte dabei: [mm] $\frac{1}{4}<\frac{3}{10}<\frac{1}{3}$) [/mm] und überlege Dir, wie das allgemein für [mm] $\frac{1}{n+1} [/mm] < x < [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] aussehen muss und wie man das begründet. Überlege Dir auch, dass 1 kein HP von $M$ ist (wohl aber Berührpunkt). Überlege Dir, dass $M$ selbst auch eine Teilmenge ihrer Berührpunkte ist, aber kein $m [mm] \in [/mm] M$ ein Häufungspunkt von $M$ sein kann.
(Tipp zu letztgenannten: Ist $m [mm] \in \IN$, [/mm] so ist [mm] $m=\frac{1}{n}$ [/mm] mit einem $n [mm] \in \IN$. [/mm] Berechne mal den Abstand von [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] zu [mm] $\frac{1}{n+1}$, [/mm] d.h. bilde die Differenz [mm] $\varepsilon:=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$. [/mm] Lege nun eine [mm] $\frac{\varepsilon}{2}$-Umgebung [/mm] um [mm] $m=\frac{1}{n}$ [/mm] und zeige, dass in dieser die einzigen Elemente von $M$ die Zahl $m$ selbst ist.)
Also zusammenfassend:
Sei alles wie oben und $A [mm] \subseteq [/mm] X$. Wir schreiben $HP(A)$ für die Menge der Häufungspunkte von $A$ und $BP(A)$ (keine Schleichwerbung  ) für die Menge der Berührpunkte von $A$. Dann gelten jedenfalls:
$A [mm] \subseteq [/mm] BP(A)$
$HP(A) [mm] \subset [/mm] BP(A)$
Und was ihr ja auch schon oben in der Bemerkung festgestellt habt:
$BP(A)=A [mm] \cup [/mm] HP(A)$
(Insbesondere heißt letzteres nicht, dass $A$ und $HP(A)$ einen nichtleeren Schnitt hätten...)
P.S.:
Es kann sein, dass ihr den Begriff der Umgebung von $x$ anders definiert habt (z.B. $U [mm] \subseteq [/mm] X$ heißt Umgebung von $x$, wenn $x [mm] \in [/mm] U$ und $U$ offen; oder $U [mm] \subseteq [/mm] X$ heißt Umgebung von $x$, wenn es eine offene Menge $V [mm] \subseteq [/mm] U$ mit $x [mm] \in [/mm] V$ gibt...). Aber ich meine oben mit [mm] $\varepsilon$-Umgebungen [/mm] von $x$ einfach
[mm] $U_\varepsilon(x):=\{y \in X: d(x,y) < \varepsilon\}$ [/mm]
Im Prinzip kann man hier mit beiden (bzw. allen drei möglichen) Definitionen arbeiten (obwohl sie natürlich in offensichtlicher Weise nicht äquivalent sind; aber für den hier vorliegenden Sachverhalt gibt es eine Eigenschaft zwischen den beiden (bzw. eigentlich drei) Definitionen "Umgebung", die uns genügt), die letzte ist aber für die obigen Argumentationen "handlicher"...
Deswegen hoffe ich auch, ihr habt die "offenen Kugel"-Umgebungen von $x$, also [mm] $U_\varepsilon(x):=\{y \in X: d(x,y) < \varepsilon\}$, [/mm] als Umgebung von $x$ bezeichnet...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:04 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Keine Ahnung warum der Status noch auf "offen" steht, daher hier nur diese weitere Antwort, damit die Frage auf "grün" gestellt wird....
Diese (aber natürlich nicht die weiter oben stehende!) kann danach gelöscht werden...
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