Bernsteinpolynom < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:02 Do 26.05.2011 | | Autor: | Sin777 |
Ich habe folgendes gegeben:
[mm] B_{n}(f):=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f(\bruch{k}{n})x^k(1-x)^{n-k}
[/mm]
Meine aufgabe lautet nun, dass ich dich Bernsteinpolynome bestimmen soll. Mir ist aber nicht ganz klar, wie ich denn hier einsetzen soll. Die Aufgabenstellung gibt verschiedene Fuktionen vor. Zum Verständnis würde mir aber einfach mal f(x)=1 reichen. Muss ich jetzt n=0 einsetzen? Das n gibt doch den rang an oder? also wäre dieser für f(x)=1 die null... könnte mir mal jemand das Polynom für f(x)=1 bestimmen? Das wäre echt super.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:48 Do 26.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Ich habe folgendes gegeben:
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> [mm]B_{n}(f):=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f(\bruch{k}{n})x^k(1-x)^{n-k}[/mm]
>
> Meine aufgabe lautet nun, dass ich dich Bernsteinpolynome
> bestimmen soll. Mir ist aber nicht ganz klar, wie ich denn
> hier einsetzen soll. Die Aufgabenstellung gibt verschiedene
> Fuktionen vor. Zum Verständnis würde mir aber einfach mal
> f(x)=1 reichen. Muss ich jetzt n=0 einsetzen? Das n gibt
> doch den rang an oder? also wäre dieser für f(x)=1 die
> null... könnte mir mal jemand das Polynom für f(x)=1
> bestimmen? Das wäre echt super.
Wenn f(x)=1 gilt folgt
[mm] B_{n}(f):=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^k(1-x)^{n-k}=1 [/mm] weil gilt
[mm] 1=1^n=(x-1-x)^n [/mm] und jetzt die binomische Formel anwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:30 Do 26.05.2011 | | Autor: | Sin777 |
Tut mir leid, mir ist das Einsetzen immer noch nicht ganz klar ... Was bedeutet f(n/k)? Wenn ich jetzt x hätte, dann stünde anstatt f(n/k) dann (n/k), oder? Mir ist auch noch nicht klar wie du darauf kommst, dass dann der ganze Ausdruck = 1 ist...Wo sind die ganzen x, n und k hin?
Sorry, wenn ich so nachharke aber könntest du mir es nur in diesem speziellen fall einmal genau vorrechnen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Do 26.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Gegeben ist eine Funktion f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] und ein n [mm] \in \IN
[/mm]
Für k=0,1,...,n berechnest Du die Funktionswerte f(k/n). Dmit bekommst Du das Polynom
$ [mm] B_{n}(f)=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f(\bruch{k}{n})x^k(1-x)^{n-k} [/mm] $
Ist zum Beispiel f die konstante Funktion 1, so sind alle f(k/n) gleich 1
In diesem Fall bekommst Du
$ [mm] B_{n}(f)=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^k(1-x)^{n-k} [/mm] $
Jetzt brauchen wir den binomischen Satz:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^kb^{n-k}=(a+b)^n
[/mm]
Wenn Du diesen anwendest mit a=x und b=1-x, so erhältst Du das was ullim Dir gesagt hat.
FRED
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