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| Aufgabe | Wir betrachten den Vektorraum Pol4 [mm] \IR:= \{ \summe_{j=0}^{4} ajX^j| aj \in \IR\} [/mm] der reellen Polynome vom Grad höchstens 4.
Zeigen Sie,dass die durch
[mm] bk(X):=\vektor{4 \\ k}(1-X)^{4-k}*X^k
[/mm]
definierten Bernstein-Polynome b0,b1,b2,b3,b4 eine Basis des Vektorraums Pol4 [mm] \IR [/mm] bilden. Geben Sie für die Polynome p,q,r mit p(X)=1, [mm] q(X)=X^2 [/mm] und [mm] r(X)=X^4 [/mm] die Koordinatentupel Bp, Bq und Br bezüglich der Basis B: b0,b1,b2,b3,b4 an. |
Hallo Leute,
sitze gerade vor meinen Hausaufgaben und komme nicht weiter. Bin mal wieder ziemlich ahnungslos. Ich habe überhaupt keinen Ansatz. Hab mir jetzt nur aufgeschrieben wie b0...b4 aussieht, wenn man es aussrechnet:
b0= [mm] x^4-4x^3+6x^2-4x+1
[/mm]
[mm] b1=-4x^4+12x^3-12x^2+4x
[/mm]
[mm] b2=6x^4-12x^3+6x^2
[/mm]
[mm] b3=-4x^4+4x^3
[/mm]
[mm] b4=x^4
[/mm]
bringt mir das was?? DANKE
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Hallo derahnungslose,
> Wir betrachten den Vektorraum Pol4 [mm]\IR:= \{ \summe_{j=0}^{4} ajX^j| aj \in \IR\}[/mm]
> der reellen Polynome vom Grad höchstens 4.
> Zeigen Sie,dass die durch
> [mm]bk(X):=\vektor{4 \\ k}(1-X)^{4-k}*X^k[/mm]
> definierten
> Bernstein-Polynome b0,b1,b2,b3,b4 eine Basis des
> Vektorraums Pol4 [mm]\IR[/mm] bilden. Geben Sie für die Polynome
> p,q,r mit p(X)=1, [mm]q(X)=X^2[/mm] und [mm]r(X)=X^4[/mm] die
> Koordinatentupel Bp, Bq und Br bezüglich der Basis B:
> b0,b1,b2,b3,b4 an.
> Hallo Leute,
> sitze gerade vor meinen Hausaufgaben und komme nicht
> weiter. Bin mal wieder ziemlich ahnungslos. Ich habe
> überhaupt keinen Ansatz. Hab mir jetzt nur aufgeschrieben
> wie b0...b4 aussieht, wenn man es aussrechnet:
>
> b0= [mm]x^4-4x^3+6x^2-4x+1[/mm]
> [mm]b1=-4x^4+12x^3-12x^2+4x[/mm]
> [mm]b2=6x^4-12x^3+6x^2[/mm]
> [mm]b3=-4x^4+4x^3[/mm]
> [mm]b4=x^4[/mm]
>
> bringt mir das was?? DANKE
Ja, durch die Bedingungsgleichung für lineare Unabhängigkeit
kannst Du nachweisen, daß diese Polynome eine Basis bilden,
in dem Du das zurückführst auf die lineare Unabhängigkeit der
Polynome [mm]1, \ x, \ x^{2}, \ x^{3}, \ x^{4}[/mm].
Gruss
MathePower
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Wie stelle ich so ein LGS auf? Normalerweise habe ich Vektoren, die kann ich schön in eine Matrix umformen und guck ob ich eine Lösung raus bekommen oder es nur trivial geht (ist ja auch ne Lösung...).
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Hallo derahnungslose,
> Wie stelle ich so ein LGS auf? Normalerweise habe ich
> Vektoren, die kann ich schön in eine Matrix umformen und
> guck ob ich eine Lösung raus bekommen oder es nur trivial
> geht (ist ja auch ne Lösung...).
>
Hier stellst Du zunächst die Bedingungsgleichung auf:
[mm]a_{0}*b_{0}\left(x\right)+a_{1}*b_{1}\left(x\right)+a_{2}*b_{2}\left(x\right)+a_{3}*b_{3}\left(x\right)+a_{4}*b_{4}\left(x\right)=0[/mm]
Dann sortierst Du das nach x-Potenzen:
[mm]\alpha_{0}*x^{0}+\alpha_{1}*x^{1}+\alpha_{2}*x^{2}+\alpha_{3}*x^{3}+\alpha_{4}*x^{4}=0[/mm]
Diese Polynome [mm]x^{k}, \ k=0 ... 4[/mm] sind linear unabhängig,
so daß [mm]\alpha_{k}=0, \ k=0 ... 4[/mm] gelten muss.
Daraus ergibt sich ein LGS für die [mm]a_{k}, \ k=0 ... 4[/mm]
Dann musst Du zeigen, daß dieses LGS nur die Lösung
[mm]a_{k} =0, \ k=0 ... 4[/mm] besitzt.
Gruss
MathePower
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