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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Do 15.05.2008 | | Autor: | Sweetyfa |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Lösung der Differenzialgleichung y' = [mm] 1+y^{2} [/mm] durch einen beliebigen Punkt [mm] (x_{2}, [/mm] 0) [mm] \in \IR^{2} [/mm] sowie deren maximales Definitionsintervall. |
Hallo, kann mir hier jemand helfen?
Ich gehe davon aus, dass dies eine Bernoullische Differentialgleichung ist und ich diese mit Hilfe von Substitution lösen kann.
Durch Substitution y= 1/z und y' = [mm] -z^{-2}*z' [/mm] kam ich auf die Gleichung -z' - [mm] z^{2}=1.
[/mm]
Meine Lösungen des homogenen Gleichungssystem lauten:
[mm] z_{h}= [/mm] 1/(x+c)
Wenn ich aber die speziellen Lösungen berechne, also statt c c(x) einsetze, bekomme ich als Lösung [mm] z_{p}=1/0.
[/mm]
Irgendwo muss da wohl ein Fehler sein, kann mir da evtl jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Bestimmen Sie die Lösung der Differenzialgleichung y' =
> [mm]1+y^{2}[/mm] durch einen beliebigen Punkt [mm](x_{2},[/mm] 0) [mm]\in \IR^{2}[/mm]
> sowie deren maximales Definitionsintervall.
> Hallo, kann mir hier jemand helfen?
> Ich gehe davon aus, dass dies eine Bernoullische
> Differentialgleichung ist und ich diese mit Hilfe von
> Substitution lösen kann.
> Durch Substitution y= 1/z und y' = [mm]-z^{-2}*z'[/mm] kam ich auf
> die Gleichung -z' - [mm]z^{2}=1.[/mm]
> Meine Lösungen des homogenen Gleichungssystem lauten:
> [mm]z_{h}=[/mm] 1/(x+c)
> Wenn ich aber die speziellen Lösungen berechne, also statt
> c c(x) einsetze, bekomme ich als Lösung [mm]z_{p}=1/0.[/mm]
> Irgendwo muss da wohl ein Fehler sein, kann mir da evtl
> jemand helfen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Die Gleichung löst man durch Separation der Variablen:
$y' = [mm] 1+y^{2}$
[/mm]
[mm] $\integral \bruch{1}{1+y^2}\;dy=\integral \;dx$
[/mm]
$arctan(y) = x+C$
$y = tan(x+C)$
LG, Martinius
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