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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Fr 11.12.2009 | | Autor: | lu3tt3 |
| Aufgabe | Gegeben: [mm] b(n,k,p)=\vektor{n \\ k}*p^k*(1-p)^{n-k} [/mm] mit [mm] p\in(0,1).
[/mm]
Gesucht wird für gegebenes p und k ein maximum-likelihood-Schätzer für n. |
Ich habe folgede Betrachtung im Internet gefunden:
Statt b(n,k;p) zu maximieren kann man auch [mm] \ln(p^k*(1-p)^{n-k}) [/mm] betrachten.
Das Ergebnis dieser Betrachtung führt zum Schluss auf p*n = k.
Dieser Zusammenhang wurde uns auch im Tutorium nahe gelegt, muss aber noch bewiesen werden. Meine Frage ist jetzt:
Mit welcher Begründung darf ich statt b(n,k;p) die Formel [mm] \ln(p^k*(1-p)^{n-k}) [/mm] betrachten und diese Maximieren? Wo kommt denn auf einmal der Logarithmus her?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Fr 11.12.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin lu3tt3,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Mit welcher Begründung darf ich statt b(n,k;p) die Formel
> [mm]\ln(p^k*(1-p)^{n-k})[/mm] betrachten und diese Maximieren? Wo
> kommt denn auf einmal der Logarithmus her?
Nicht auf einmal. Es ist nur einfacher, das Maximum der logarithmierten Funktion zu bestimmen, da Produkte zu Summen werden, was sich i.a. leichter differenzieren laesst (probier's mal selber). Und das Schoene daran: Beide Funktioen haben identische Extrema, da der Logarithmus streng monoton steigt.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Fr 11.12.2009 | | Autor: | lu3tt3 |
Hallo Luis,
dass ich den Logarithmus auf Grund der schöneren Differentiation nehme ist verständlich. Nur warum ich den Ausdruck [mm] p^k*(1-p)^{n-k} [/mm] in den Logarithmus schreiben darf, anstelle das Produkt mit dem Binomialkoeffizienten zu bilden, ist mir nicht ganz klar - Ich versteh den zusammenhang beider Gleichungen nicht. Wie komme ich mit mathematische korrekten Überlegnungen von der einen auf die andere?
Ich steh grad auf dem Schlauch, was hat denn die strenge Monotonie mit den Extrema der beiden Funktionen zu tun? Wenn eine Funktion streng Monoton steigt, dann kann sie doch gar kein Extremum annehmen, weil sie eben immer steigt? Würde ja heißen, dass b(n,k;p) auch keines hat? Aber will ich nicht genau das n bestimmen, für das die Fkt. sozusagen "maximal" wird? Ich bin verwirrt...
Sandra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 Sa 12.12.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Sandra,
loesen wir uns einmal von der obigen Fragestellung und betrachten eine Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] mit $f(x)>0$ fuer alle [mm] $x\in\IR$. [/mm] Ferner sei [mm] $g:(0,\infty)\to\IR$ [/mm] eine streng monoton wachsende Funktion (so wie der Logarithmus), so dass eine inverse Funktion [mm] $g^{-1}$ [/mm] existiert (Exponentialfunktion), die ebenfalls streng monoton waechst. Liegt in [mm] $x_0\in\IR$ [/mm] ein Maximum von $f_$, so gilt [mm] $f(x_0)\ge [/mm] f(x)$ und damit [mm] $g(f(x_0))\ge [/mm] g(f(x))$
fuer alle [mm] $x\in\IR$. [/mm] Gilt umgekehrt [mm] $g(f(x_0))\ge [/mm] g(f(x))$ fuer alle [mm] $x\in\IR$, [/mm] so ist auch [mm] $g^{-1}(g(f(x_0)))\ge g^{-1}(g(f(x)))$, [/mm] also [mm] $f(x_0)\ge [/mm] f(x)$ fuer alle [mm] $x\in\IR$. [/mm]
Fazit: Die Funktion $f_$ und die Funktion [mm] $g\circ [/mm] f$ haben an denselben Stellen ein Maximum.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:32 So 13.12.2009 | | Autor: | lu3tt3 |
Hallo Luis,
Danke!! Das hab ich jetzt verstanden. Und das macht auch erstaunlich viel Sinn, wenn das nicht einfach so vom Himmel fällt :)
Noch etwas zu dem Binomialkoeffizienten.
Angenommen ich vernachlässige den nicht, dann hab ich ja:
[mm] ln\vektor{n \\ k} [/mm] = ln [mm] (\bruch{n!}{k!*(n-k)!}) [/mm] =
ln 1 + ln 2 + ... + ln n - ln 1 - ln 2 - ... - ln k - ln 1 - ln 2 - ... - ln (n-k) =
ln (n-k+1) + ln(n-k+2) + ... + ln n - ln1 - ln 2 - ... - ln k
Also die "letzten k", minus "die ersten" k.
Wenn ich das Ableite ergeben sich logischerweise Brüche, soweit richtig?
Und da ich mich in der Stochastik befinde und die aufaddierten Brüche für entsprechend "große" n und "normale" k keine großen Werte annehmen, darf ich sie vernachlässigen und aus dem "=" ein [mm] "\approx" [/mm] machen?
Sandra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 So 13.12.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
du leitest weder nach $n_$ noch nach $k_$ ab (was auch keinen Sinn macht, da das ganze Zahlen sind), sondern nach $p_$.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 Mo 14.12.2009 | | Autor: | lu3tt3 |
Ahhhh, klaaaaar *Brett vorm Kopf*
Subba, jetzt hab ichs verstanden.
Danke nochmal :)
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