Bernoulli Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Mi 16.08.2006 | | Autor: | Efsane |
Hallo Leute
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich komme ins grübeln, wegen der Bernoulli Ungleichung und seine Grenzwerte. Habe eine Seite gefunden ![[]](/images/popup.gif) http://home.in.tum.de/~nguyenh/files/spick2.pdf wo die Aufgabe genau so aussah, doch da gibt es ein kleines "Aber". Die Aufgabe ist auf der ersten seite rechts unten bei "Einige Grenzwerte für Folgen" nämlich die Bernoulli Ungleichung.
Ein Moderator fügt mal eben die erwähnte Passage aus dem PDF hier ein: 
Grenzwert für $n [mm] \to \infty$:
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Einmal kommt da eine 1 raus und einmal eine e funktion. meine Aufgabe sieht so aus fast so gleich wie die erste.
[mm] (1-\bruch{1}{n^\alpha} )^n [/mm] ; [mm] \alpha>1 [/mm]
kommt da nun bei der Folge eine 1 oder e?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:21 Do 17.08.2006 | | Autor: | Palin |
Ok wenn du das minus benutzt kommt 1 raus,
aber ich geh mal davon aus das es ein Tipp Fehler war.
[mm] (1+1/n)^n [/mm] = e ist die Euler Zahl wenn [mm] n^a [/mm] genommen wird liegt es zwischen 1 und e .
Die Bernoulli Ungleichung sagt soweit ich weiß nichts anderes als
[mm] (1+x)^n [/mm] > 1+ n x für n >=2 und a != 0 und a > -1
Den Bewiß kann man über Induktion machen und es wird soweit ich weiß meist benutzt um einen Grenzwert nach unten Abzuschätzen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:22 Do 17.08.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Efsane!
Um Deine Verwirrung bezüglich $e_$ oder $1_$ als Grenzwert zu mindern ...
Allgemein gilt: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{\red{a}}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \exp(\red{a}) [/mm] \ = \ [mm] e^{\red{a}}$
[/mm]
Damit wird dann nämlich auch [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1-\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{(-1)}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \exp(-1) [/mm] \ = \ [mm] e^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e}$
[/mm]
Und wegen 3. binomischer Formel gilt:
[mm] $\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left[1-\left(\bruch{1}{n}\right)^2\right]^n [/mm] \ = \ [mm] \left[\left(1-\bruch{1}{n}\right)*\left(1+\bruch{1}{n}\right)\right]^n [/mm] \ = \ [mm] \left(1-\bruch{1}{n}\right)^n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ [mm] \longrightarrow [/mm] \ [mm] \bruch{1}{e}*e [/mm] \ = \ 1$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Do 17.08.2006 | | Autor: | Efsane |
Danke dir Loddar für deine Mühe und deine sehr gute Erklärung, aber könntest du mir das auch mal anhand von [mm] n^\alpha [/mm] darstellen statt [mm] n^2??? [/mm] Das wäre sehr nett.
So stand es in der Prüfung:
[mm] a_n [/mm] = [mm] (1-\bruch{1}{n^\alpha} )^n [/mm] ; [mm] \alpha [/mm] > 1 fest
Hinweis: Bernoullische Ungleichung
Ich will ja nämlich auch rausfinden, ob das mit [mm] n^\alpha [/mm] auch eine 1 raus kommt. Wäre nett wenn du das wie davor erklären könntest. Danke dir schonmal im Voraus.
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Hallo Efsane,
> So stand es in der Prüfung:
> [mm]a_n[/mm] = [mm](1-\bruch{1}{n^\alpha} )^n[/mm] ; [mm]\alpha[/mm] > 1 fest
> Hinweis: Bernoullische Ungleichung
Abschätzen heißt das Zauberwort. Hat man konvergente Folgen so folgt aus
[mm]a_n \le b_n \le c_n \forall n[/mm]
[mm]\lim_{n \to \infty} a_n \le \lim_{n \to \infty}b_n \le \lim_{n \to \infty} c_n[/mm]
Für Deinen Fall
[mm](1-\bruch{1}{n^\alpha} )^n<1^n=1[/mm]
Damit kann man [mm] c_n=1 [/mm] wählen, was gegen 1 konvergiert.
Wenn Du jetzt die Bernoulli ungleichung für [mm] x=-\bruch{1}{n^\alpha} [/mm] anwendest bekommst auch Du eine Abschätzung nach unten.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 Do 17.08.2006 | | Autor: | Efsane |
Palin und Loddar ich danke schonmal für eure Mühe.
@Palin: Diese Aufgabe kam in der Prüfung und weil ich zu dieser Aufgabe:
[mm] (1-\bruch{1}{n^\alpha} )^n
[/mm]
geschrieben habe der Grenzwert sei 1, wurden die Punkte nicht gezählt.
Aber wenn du mir sagst, das mit einem minus der Grenzwert 1 raus kommt, so wie ich es auch gemacht habe und dir damit sehr sicher bist, geh ich damit zur Professor und lasse meine Prüfung durchgehen.Das wäre doch sonst eine unverschämtheit.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Do 17.08.2006 | | Autor: | Palin |
Äh der Grenzwert der Funktion ist 1.
Aber ober Grenzwert der Folge jetzt 1 ist müste ich nach nach Rechen, aber grob würde ich nein Sagen.
Da lim n->oo =1 und da du für [mm] \summe_{i=1}^{n} (1-1/n)^n [/mm] den Grenzwert suchst ist der Glaube ich großer als 1.
Aber Poste doch mal deine Lösung, dann kann ich es mir Anschauen.
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Hallo Efsane,
> Aber wenn du mir sagst, das mit einem minus der Grenzwert 1
> raus kommt, so wie ich es auch gemacht habe und dir damit
> sehr sicher bist, geh ich damit zur Professor und lasse
> meine Prüfung durchgehen.Das wäre doch sonst eine
> unverschämtheit.
Ich denke auch das da 1 rauskommt. Hast Du's denn begründet oder gab's die Punkte vllt. wegen fehlender Begründung nicht.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Do 17.08.2006 | | Autor: | Efsane |
| Aufgabe | Man berechne, ohne die Regel von L'Hospital zu benutzen, die Grenzwerte der Folgen [mm] a_n [/mm] n [mm] \in\IR [/mm] mit:
c) [mm] a_n [/mm] = [mm] (1-\bruch{1}{n^\alpha} )^n [/mm] ; [mm] \alpha [/mm] > 1 fest.
Hinweis: Bernoullische Ungleichung |
So war die Aufgabe gestellt in der Prüfung. Es wurde als fehler angekreuzt und wurd darauf hingewiesen das es den Grenzwert e hat.Also nicht weil die begründung zu kurz war, sondern angeblich ergebnis falsch war. Ich habs so geschrieben.
[mm] (1-\bruch{1}{n^\alpha} )^n [/mm] --> 1
ich bräuchte mal so ne Erklärung wie es Loddar getan hat, aber mit [mm] n^\alpha [/mm] und nicht [mm] n^2. [/mm] Brauche also weitere Hilfe.
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Hallo nochmal,
So schnell kann man ja gar nicht antworten wie Du die Fragen stellst
e ist auf jeden Fall falsch. wegen [mm] 1-\bruch{1}{n^\alpha}<1 [/mm] und [mm] x^n [/mm] monoton wachsend für x>0 gilt auf jeden Fall
[mm] (1-\bruch{1}{n^\alpha})^n<1^n=1
[/mm]
Den Rest siehe andere Antwort.
viel Erfolg beim Punkte schinden 
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 Do 17.08.2006 | | Autor: | Efsane |
Danke mathemaduenn
Ich mein es ist ja wohl berechtigt dann das ich meine zwei punkte wieder haben will und dazu noch dadurch die prüfung bestehe
Die frage ist nur, geht das, das ich dem professor sein fehler zeige und er meine punkte zurück gibt?
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> Ich mein es ist ja wohl berechtigt dann das ich meine zwei
> punkte wieder haben will und dazu noch dadurch die prüfung
> bestehe
> Die frage ist nur, geht das, das ich dem professor sein
> fehler zeige und er meine punkte zurück gibt?
Klar. "probieren geht über studieren" oder so. Falls es nicht klappt hast du wenigstens was gelernt
Ob Du natürlich so ganz ohne Benutzung des Hinweises oder anderweitiger Begründung 2 Punkte bekommst ist imho fraglich.
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Do 17.08.2006 | | Autor: | Efsane |
| Aufgabe | Aufgabe
Man berechne, ohne die Regel von L'Hospital zu benutzen, die Grenzwerte der Folgen [mm] (a_n) n\in\IR [/mm] mit:
c) [mm] a_n [/mm] = [mm] (1-\bruch{1}{n^\alpha} )^n [/mm] ; [mm] \alpha [/mm] > 1 fest.
Hinweis: Bernoullische Ungleichung
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Unglaublich mein Übungsleiter ist fest davon überzeugt, dass der Grenzwert der Folge immer noch e=2,71828... ist und nicht 1. Also wo liegt dann das problem verstehen wir das nicht oder mein Übungsleiter???
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Hallo Efsane,
> Unglaublich mein Übungsleiter ist fest davon überzeugt,
> dass der Grenzwert der Folge immer noch e=2,71828... ist
> und nicht 1. Also wo liegt dann das problem verstehen wir
> das nicht oder mein Übungsleiter???
Und was hat Dein Übungsleiter zu dem genannten Argument
[mm] (1-\bruch{1}{n^\alpha})<1
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] (1-\bruch{1}{n^\alpha})^n<1^n=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \lim_{n \to \infty}(1-\bruch{1}{n^\alpha})^n\le \lim_{n \to \infty}1=1
[/mm]
gesagt bzw. hat er seine Ansicht irgendwie begründet?
viele grüße
mathemaduenn
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