BernoulliExperiment oder nich? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 So 13.04.2008 | | Autor: | Thargor |
| Aufgabe | Ein Schiff läuft in einem Hafen ein. Die 30 Seeleute des Schiffs besuchen auf ihrem Landgang die
hiesige Kneipenmeile. Als sie spät in der Nacht zuruck an Bord gehen, sind sie in ihrem Zustand nicht
mehr in der Lage, ihr Bett zu finden und wählen sich eines zufällig aus. Was ist die zu erwartende
Anzahl von Seeleuten, die in ihrem eigenen Bett schlafen? |
Hi!
Die Aufgabe hat der Prof mal nebenbei in der Vorlesung erwähn, aber ich steh total aufen Schlauch, die nervt mich schon das ganze Wochenende =)
Vom Prinzip her versteh ich die Aufgabe. Der erste Matrose kommt, hat 30 Betten zur Auswahl und legt sich hin. Wahrscheinlichkeit das er sein Bett getroffen hat ist 1/30. Der zweite Matrose hat nur noch 29 Betten zur Auswahl. Ist jetzt aber zu beachten das sein Kolege sich vieleicht genau in sein Bett gelegt hat und er jetzt garnicht mehr sein Bett treffen kann oder spielt es keine Rolle?
Schon mal herzlichen Dank für eure Hinweise.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Di 15.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
Um das ganze mal zu mathematisieren: es geht um die zu erwartende Anzahl von Fixpunkten einer zufaelligen Permutation der Menge [mm] $\{ 1, \dots, 30 \}$.
[/mm]
Dazu kannst du vielleicht wie folgt vorgehen: zaehle erstmal, wieviele Permutationen der Menge [mm] $\{ 1, \dots, k \}$ [/mm] es gibt, die gar keinen Fixpunkt haben. Die Anzahl hiervon bezeichne mit [mm] $A_k$.
[/mm]
Eine Permutation mit genau $k$ Fixpunkten setzt sich zusammen aus einer Wahl einer $k$-elementigen Teilmenge von [mm] $\{ 1, \dots, 30 \}$ [/mm] und einer fixpunktfreien Permutation der restlichen $30 - k$ Elemente.
Damit hast du [mm] $\binom{30}{k} \cdot A_{30 - k}$ [/mm] Permutationen von [mm] $\{ 1, \dots, 30 \}$, [/mm] die genau $k$ Fixpunkte haben.
Jetzt musst du dir nur noch ueberlegen, wie du [mm] $A_k$ [/mm] bestimmst  Dazu kannst du vermutlich am Besten die Menge aller Permutationen zaehlen, die mindestens einen Fixpunkt haben, und dies von der Gesamtzahl der Permutationen (die ist $k!$) abziehen.
LG Felix
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Um ein "Bernoulli-Experiment" handelt es sich nicht, denn dies würde erfordern, dass es eine Wiederholung eines Versuchs mit gleichbleibender Wahrscheinlichkeit wäre.
Bei der Frage handelt es sich um ein berühmtes Problem von Euler, das "Problem der vertauschten Briefe". Dazu gibt es im Internet wohl viele Beiträge...
Lieben Gruss Al-Ch.
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