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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Sa 08.10.2005 | | Autor: | svenchen |
Morgen zusammen, hab noch eine Frage. Werde mich auch wenn der Kram vorbei ist, wieder engagieren und andere Fragen selber beantworten....
Also zu meinem Problem:
Auf einem Würfel befinden sich die Zahlen 1- 20. Es wird 10 mal gewürfelt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind dabei
a) genau zweimal die 2 und genau zweimal die 8 ?
b) genau dreimal die 5 und zweimal die 7?
c) mindestens 3 mal die 4?
Die Aufgabe soll über Bernoulli gelöst werden.
MfG
Sven
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Hallo Sven,
> Auf einem Würfel befinden sich die Zahlen 1- 20. Es wird 10
> mal gewürfelt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind dabei
>
> a) genau zweimal die 2 und genau zweimal die 8 ?
Eine mögliche "Würfelfolge" wäre also (2,2,8,8, ...) wobei bei "..." 6 Zahlen stehen, die nicht 2 oder 8 sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau so eine Folge gewürfelt wird, ist:
[mm]P(A)=(\bruch{1}{20})^4*(\bruch{18}{20})^6[/mm], da die 2 und die 8 jeweils nur einmal auf dem Würfel sind, und für die 6 anderen genau 18 übrigbleiben.
Allerdings können die 2er und 8er ja auch an anderer Stelle stehen. Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es dafür?
dafür gibt es [mm]\vektor{10 \\ 2}*\vektor{8\\2}=1260[/mm] Mögl. (Erklärung in Post "sorry"  )
Die gesuchte Wahrsch. ist also
[mm]P(G)=P(A)*\vektor{10 \\ 2}*\vektor{8\\2} \approx 4,185*10^{-3}[/mm]
> b) genau dreimal die 5 und zweimal die 7?
Bitte mal selber versuchen (analog zur a)
> c) mindestens 3 mal die 4?
P(mindestens 3mal die 4)=1-P(weniger als 3mal die 4)=1-(P(keine 4)+P(eine 4) + P(zwei 4er)),
dann analog zu a.
mfg
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Sa 08.10.2005 | | Autor: | svenchen |
Hi Daniel,
zuerst einmal herzlichen Dank für deine Antwort.
Nur eine Sache versteh ich noch nicht so ganz. Warum muss ich (10 über4) durch 4 teilen ? da kommt 52,5 raus, wie ist es möglich, dass es 52,5 Möglichkeiten gibt?
Ich werde mich dann mal an die andere Aufgabe begeben, melde mich dann wieder.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Sa 08.10.2005 | | Autor: | svenchen |
und dann hab ich noch eien Frage zu deiner Berechnung von p(A).
Wir haben gelernt, dass p+q = 1 immer gelten muss. Warum ist das hier nicht so (1/20 + 18/20 ist ja ungleich 1)
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Hi Sven,
Wir haben praktisch drei Fälle: 2, 8, oder eine andere Zahl.
mit Wahrsch. [mm]\bruch{1}{20}, \bruch{1}{20}, \bruch{18}{20}[/mm], die zusammen 1 ergeben.
mfg
Daniel
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Hi Sven,
ohoh... Das ist wohl falsch gewesen. Bei 4 aus 10 ist das ja schon geordnet, da muss man keine Doppelungen mehr beachten... Machen wir das lieber so:
Zuerst wählen wir zwei Plätze für die beiden 2er, und dann 2 Plätze für die beiden 8er. Es gibt dann also
[mm]\vektor{10 \\ 2}*\vektor{8\\2}=1260[/mm] Möglichkeiten.
mfg
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Sa 08.10.2005 | | Autor: | svenchen |
Hallo DAniel , nochmal dankeschön. Das Prinzip ist mir nun klar, ich hab aber noch eine (grundsätzliche) Frage.
Wo liegt denn jetzt genau der Unterschied zwischen [mm] \vektor{10 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{8 \\ 2} [/mm] und
[mm] \vektor{10 \\ 4}. [/mm] Wäre nett wenn du mir das mal allgemein und am Bsp. der Aufgabe sagen könntest....
danke, sven
[edit] mir kommt grad ein interessanter gedanke. kann man nich anstatt "die zahlen 2 und 8 kommen genau zweimal vor" auch sagen " eine beliebige zahl kommt genau viermal vor"?
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Hi, svenchen,
> Wo liegt denn jetzt genau der Unterschied zwischen
> [mm]\vektor{10 \\ 2}[/mm] * [mm]\vektor{8 \\ 2}[/mm] und
>
> [mm]\vektor{10 \\ 4}.[/mm] Wäre nett wenn du mir das mal allgemein
> und am Bsp. der Aufgabe sagen könntest....
Beginnen wir mal mit [mm] \vektor{10 \\ 4}.
[/mm]
Bedeutet: Du hat 10er-Tupel, bei denen eine bestimmte Zahl - sagen wir die 2 - genau 4 mal eingebaut ist:
(2;2;2;2; .....), ... (..; 2; 2;..; 2;..;2;.), ... bis (..... ; 2;2;2;2)
Betrachten wir im Folgenden nur die erste davon, also: (2;2;2;2; .....)
Nun zu [mm] \vektor{10 \\ 2}*\vektor{8 \\ 2}.
[/mm]
Bedeutet, dass zwei verschiedene Zahlen (z.B. die 2 und die 8) je zweimal eingebaut sind; zuerst die eine (sagen wir: die 2), anschließend (auf den verbleibenden acht Stellen!) die andere, hier dann die 8.
Nehmen wir wie im obigen Beispiel mal nur die ersten 4 Stellen:
(2;2;8;8;...), (2;8;2;8;...); (2;8;8;2;...), (8;2;8;2;...) (8;2;2;8;...); (8;8;2;2;...). Das sind im Vergleich zu (2;2;2;2;...) 6 mal so viele!
Drum ist [mm] \vektor{10 \\ 2}*\vektor{8 \\ 2} [/mm] auch genau 6 mal soviel wie [mm] \vektor{10 \\ 4}.
[/mm]
Ist Dir nun der Unterschied klar?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Sa 08.10.2005 | | Autor: | svenchen |
zwerglein, sehr verständliche darstellung. Ja, jetzt verstehe ich das.
Könnt ihr mir noch die obrige Frage beantworrten:
"mir kommt grad ein interessanter gedanke. kann man nich anstatt "die zahlen 2 und 8 kommen genau zweimal vor" auch sagen " eine beliebige zahl kommt genau viermal vor"?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 So 09.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sven!
> "mir kommt grad ein interessanter gedanke. kann man nich
> anstatt "die zahlen 2 und 8 kommen genau zweimal vor" auch
> sagen " eine beliebige zahl kommt genau viermal vor"?
Nein! ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das ist etwas völlig anderes!
Die Wahrscheinlichkeit dafür ist
${10 [mm] \choose [/mm] 4} [mm] \cdot \left(\frac{1}{20}\right)^{4} \cdot \left(\frac{19}{20}\right)^{6}$,
[/mm]
und dies ist -probiere es bitte aus- etwas ganz anderes als
${10 [mm] \choose [/mm] 2} [mm] \cdot [/mm] {8 [mm] \choose [/mm] 2} [mm] \cdot \left(\frac{1}{20}\right)^{2} \cdot \left(\frac{1}{20}\right)^{2} \cdot \left(\frac{18}{20}\right)^{6}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:50 So 09.10.2005 | | Autor: | svenchen |
Abend Stefan,
ja hab ich auch schon gemerkt, dass es was anderes ist.
Nur mir geht das aus meinem Verständnis im moment nicht mehr raus. Ich meine nämlich grade, dass es völlig logisch ist ;(.
Wieso ist das was völlig anderes? Die Wahrscheinlichkeiten aller Zahlen sind ja gleich. So ist es genauso wahrscheinlich, dass die 8 vorkommt wie, dass die 2 vorkommt. So könnte man schlussfolgern, dass nach der Wahrscheinlichkeit für 2 + 2 = 4 mal der 8 gefragt ist. Was stimmt daran nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:19 So 09.10.2005 | | Autor: | svenchen |
Sorry Stefan, aber irgendwie versteh ich das atm nich so ganz. Ja, das meine ich eigentlich, dass es so ist. Tut mir leid mir ist das grad nich so ganz klar......
p(2x Wappen) = 0,5*0,5 = 0,25
p(1xWappen,1xZahl) = 0,5*0,5 = 0,25
nach der 1. Pfadregel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:28 So 09.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sven!
Ja, aber "einmal Wappen, einmal Zahl" kann doch zweierlei bedeuten:
1) erst Wappen, dann Zahl
2) erst Zahl, dann Wappen
Beide Ereignisse haben nach der Pfadregel die Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac{1}{4}$, [/mm] also ist die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Ereignis "einmal Wappen, enmal Zahl" gleich (Summenregel!) [mm] $\frac{1}{2}$.
[/mm]
Daher sind die beiden Ereignisse "zweimal Wappen" und "einmal Wappen, einmal Zahl" eben nicht gleichwahrscheinlich.
Ähnlich verhält es sich (etwas komplexer) bei deinem Problem...
Jetzt klar(er)?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:30 So 09.10.2005 | | Autor: | svenchen |
wow, jetzt wo du's sagst versteh ich es endlich ;) Sehr vielen Dank für die Geduld.
schönen Abend noch, und nochmals danke an alle beteiligten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Sa 08.10.2005 | | Autor: | svenchen |
hab mir das ganze nochmal angesehen.
So wie ich das verstehe sehe ich bei
[mm] \vektor{10 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{8 \\ 2}
[/mm]
(2 ,2,8,8, ...)
und
(2 ,2,8,8, ...)
als 2 verschiedene Möglichkeiten an.
bei [mm] \vektor{10 \\ 4} [/mm] w#re das dagegen ja nur eine, nicht wahr??? Falls ja, warum muss das so sein? Dachte, darunter sollte grade nicht unterschieden werden, da es ja das gleiche ist.....
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> hab mir das ganze nochmal angesehen.
>
> So wie ich das verstehe sehe ich bei
>
> [mm]\vektor{10 \\ 2}[/mm] * [mm]\vektor{8 \\ 2}[/mm]
>
> (2 ,2,8,8, ...)
>
> und
>
>
> (2 ,2,8,8, ...)
>
> als 2 verschiedene Möglichkeiten an.
>
Nein! "2 aus 10" wählt eine zweielementige Menge aus den 10 Stellen aus, [mm]\{1,2\}[/mm] kommt also nur einmal vor.
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![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
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