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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Mi 08.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie durch vollständige Induktion: [mm] n!\le\left(\br{n}{2}\right)^n [/mm] für [mm] n\ge6 [/mm] |
für [mm]n=6[/mm]: [mm]720=729[/mm]
[mm] (m+1)!=(m+1)m!\le(m+1)\left(\br{m}{2}\right)^m=2\left(\br{m}{m+1}\right)^m\left(\br{m+1}{2}\right)^{m+1}
[/mm]
Aus der Bernoullischen Ungleichung folgt:
[mm] \left(\br{m+1}{m}\right)^m=\left(1+\br{1}{m}\right)^m\ge1+1\Rightarrow2\left(\br{m}{m+1}\right)^m\le1
[/mm]
Also erhält man:
[mm] (m+1)!\le\left(\br{m+1}{2}\right)^{m+1}
[/mm]
Wofür sind diese Zwischenschritte da, und was hat man gemacht? Ich versteh den Bernoulli dort nicht.
Und was ist eine Induktionsverankerung?
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Hallo,
> Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
> [mm]n!\le\left(\br{n}{2}\right)^n[/mm] für [mm]n\ge6[/mm]
> für [mm]n=6[/mm]: [mm]720=729[/mm]
>
> [mm](m+1)!=(m+1)m!\le(m+1)\left(\br{m}{2}\right)^m=2\left(\br{m}{m+1}\right)^m\left(\br{m+1}{2}\right)^{m+1}[/mm]
>
> Aus der Bernoullischen Ungleichung folgt:
>
> [mm]\left(\br{m+1}{m}\right)^m=\left(1+\br{1}{m}\right)^m\ge1+1\Rightarrow2\left(\br{m}{m+1}\right)^m\le1[/mm]
>
> Also erhält man:
>
> [mm](m+1)!\le\left(\br{m+1}{2}\right)^{m+1}[/mm]
>
> Wofür sind diese Zwischenschritte da,
Weil sie funktionieren, sie führen zum Ziel
> und was hat man
> gemacht?
Wo genau?
[mm](m+1)!=(m+1)m![/mm] ist klar oder?
Dann wird die Induktionsvoraussetzung, nämlich [mm]m!\le \left(\frac{m}{2}\right)^m[/mm] benutzt.
Anschließend wird das nur geschickt umgeschrieben - wie man darauf kommt, das so zu machen, steht auf einem anderen Blatt ...
> Ich versteh den Bernoulli dort nicht.
Der wirkt im Schritt nach dem letzten Term aus der Zeile vor "Aus der Bernoulliungleichung folgt ..."
[mm]\left(\frac{m+1}{m}\right)^m=\left(1+\frac{1}{m}\right)^m\ge 1+m\cdot{}\frac{1}{m}=2[/mm]
Daraus folgt, dass für den Kehrwert von [mm]\left(\frac{m+1}{m}\right)^m[/mm] - das ist [mm]\left(\frac{m}{m+1}\right)^m[/mm] - gilt, dass er [mm]\red{\le \frac{1}{2}[/mm] ist.
Damit wird dann im Anschluss an die Zeile von "Aus der Bernoulli..." der Term [mm]\left(\frac{m}{m+1}\right)^m[/mm] abgeschätzt.
Es bleibt [mm]\left(\frac{m+1}{m}\right)^{m+1}[/mm]
Also hat man, wenn man alle Zwischenschritte aus der Ungleichungskette überspringt, da stehen:
[mm](m+1)!\le \left(\frac{m+1}{2}\right)^{m+1}[/mm]
>
> Und was ist eine Induktionsverankerung?
Der Induktionsanfang, man muss ja im ersten Schritt zeigen, dass die Aussage für irgendein "Start"-n gilt (hier [mm]n=6[/mm])
Gruß
schachuzipus
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