Bernoulli-verteilte Zufallsvar < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] seien unabhängige Zufallsgrößen mit [mm] $P(X_i=1)=P(X_i=-1)=\frac{1}{2}$ [/mm] für $i [mm] \in \lbrace [/mm] 1,2 [mm] \rbrace$, [/mm] Seien [mm] $U=X_1+X_2$ [/mm] und [mm] $V=X_1 \cdot X_2$
[/mm]
[mm] \paragraph{(a)} [/mm] Berechnen sie den Erwartungswert und die Varianz von V.
[mm] \paragraph{(b)} [/mm] Zeigen sie das U und V unkorreliert sind.
[mm] \paragraph{(c)} [/mm] Sind U und V sogar unabhängig?
Begründen sie ihre Antwort.
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Hallo! Ich lerne gerade für eine Klausur und würde mich über Kritik zu meinen Lösungsansätzen für obige Aufgabe freuen.
[mm] \paragraph{a)}
[/mm]
[mm] E(V)=E(X_1\cdot X_2)\overset{\text{stoch. unabhängig}}{=}E(X_1)E(X_2) [/mm]
da
[mm] E(X_1)=-1P(X_1=-1)+1P(X_1)=0 \Rightarrow E(X_1)E(X_2)=0 [/mm]
Weiterhin
[mm] \begin{matrix}
Var(S_n)=E((X_1\cdot X_2)^2)+(E(X_1\cdot X_2))^2\\
=E((X_1\cdot X_2)^2) =E(X_1^2 \cdot X_2^2)\\
=E(X_1^2)\cdot E(X_2^2)\\
=(P(X_1=-1)+P(X_1=1))\cdot (P(X_2=-1)+P(X_2=1))=1
\end{matrix}
[/mm]
[mm] \paragraph{b)}
[/mm]
zz.: [mm] $Cov(U,V)=0$\\
[/mm]
Es gilt
[mm] \begin{matrix}
Cov(U,V)=E(U\cdot V)-\underbrace{E(U)\cdot E(V)}_{=0}\\
= E((X_1+X_2)(X_1\cdot X_2))\\
= E(X_1^2 X_2+X_2^2 X_1) \text{ da stochastisch unabhängig}\\
=E(X_1^2)E(X_2)+E(X_2^2)E(X_1)\\
= 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0
\end{matrix}
[/mm]
Also unkorreliert.
[mm] \paragraph{c)}
[/mm]
Nein, U und V sind nicht unabhängig. Es gilt zum Beispiel $P(V=-1|U=2)=0 [mm] \neq \frac{1}{2}= [/mm] P(V=-1)$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Mo 06.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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