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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Do 18.09.2008 | | Autor: | C.B. |
| Aufgabe | In einer Reifenhandlung arbeiten 10 Monteure, die eine Maschine zu Auswuchten der Radfelgen durchschnittlich für 24 Minuten pro Stunde benötigen.
Wie viele Maschinen müssen zur Verfügung stehen, damit diese mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% ausreichen? |
Meine Idee war jetzt folgende Gleichung ausgehend vom Auslastunsmodell aufzustellen:
P(X=x) = [mm] \vektor{10 \\ x} (24/60)^x [/mm] (1-(24/60))^10-x
Und dann komme ich nicht weiter..
Geht das ganze auch einfacher ohne die Tabelle für kumulierte Wahrscheinlichkeiten?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Do 18.09.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
ich habe das Problem jetzt mal mit der Ungleichung von Tschebyscheff abgeschätzt.
Zuerst definiert man die Zufallsvariable X. Das sollen die Mechaniker sein, die in einer Stunde die Maschine brauchen. Das können alle zehn sein oder aber auch keiner. Wenn man nun noch sein [mm] p=\bruch{24}{60} [/mm] festlegt, da ich das als Wahrscheinlichkeit hernehmen kann das ein Mechaniker sie innerhalb einer Stunde benötigt, dann unterliegt diese Zufallsgröße richtig erkannt, der Binomialverteilung.
Also berechnet man sich den Erwartungswert: E[x]=np=10*0,4=4 und dann noch die Varianz: Var(x)=npq=10*0,4*0,6=2,4
Dies ist mal das erste.
Wie gesagt ich habe es nur abgeschätzt. Man muss ja irgendwie auf die Anzahl der Maschinen kommen, die man braucht damit sie zu 95% für alle ausreichen.
Also:
[mm] P(|X-E[x]|\ge \varepsilon)\le \bruch{Var(x)}{\varepsilon^{2}}\le [/mm] 0,05
Die 0,05 krieg ich, weil ich die Wahrscheinlichkeit dafür berechne das die Zufallsgröße um mehr als [mm] \varepsilon [/mm] vom Erwartungswert abweicht. Ich will aber das sie zu 95% genügen, also ist die Gesuchte Wahrscheinlichkeit hier natürlich kleiner als 5%.
Dies ist die Tschebyscheff-Ungleichung!
Also,
[mm] \bruch{Var(x)}{\varepsilon^{2}}\le [/mm] 0,05
nach [mm] \varepsilon [/mm] umstellen ergibt: [mm] \varepsilon\ge\wurzel{\bruch{2,4}{0,05}}\approx [/mm] 6,93
Also muss [mm] \varepsilon \ge [/mm] 7 sein. Das bedeutet, das nur wenn ich meinen Bereich um den Erwartungswert um sieben in beide Richtungen vergrößere, das dann mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95% die Anzahl der Mechaniker, die die Maschine brauchen innerhalb dieses Bereiches liegen.
Da aber ja 4+7=11 ist, es aber nur 10 Mechaniker gibt, muss ich also davon ausgehen, das alle zehn eine Maschine innerhalb einer Stunde brauchen. Jeder für 24 Minuten. Dies sind also insgesamt 240 Minuten. Also brauch ich, da zwei Mechaniker in einer Stunde eine Maschine benutzen können [mm] \bruch{240}{48}=5 [/mm] Maschinen damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% für alle ausreichen.
Dies ist allerdings nur eine grobe Abschätzung!
Gruß,
clwoe
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