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| Aufgabe | Löse die Anfangswertaufgabe:
[mm] y'(x)=+\bruch{y(x)}{x}-\bruch{x}{y^2(x)}=0 [/mm]
y(1)=1 |
Hallo!
Möchte die folgende Dgl lösen. Habe es mal probiert, und es wäre nett, wenn man einer drüberschaut:
Mein Vorschlag:
Dgl ist Bernoulli-Gleichung mit [mm] \alpha=-2
[/mm]
1) Multipliziere die Dgl mit [mm] 3y^2
[/mm]
[mm] 3y^2y'(x)+\bruch{1}{x}y(x)3y^2-3xy^2y-^2=0
[/mm]
=> [mm] (y^3)' +\bruch{3}{x}y^3-3x=0 \parallel [/mm] Substitution [mm] z:=y^3
[/mm]
=> [mm] z'+\bruch{3}{x}z-3x=0 [/mm] (Lineare Dgl)
2)-Homogene Gleichung
[mm] z'=-\bruch{3}{x}z [/mm] Durch Umformungen erhalte ich
[mm] =>z(x)=x^{-3}c (c\in \IR) [/mm] (ich denke mal, das ist klar)
-Variation der Konstante
[mm] z(x)=x^{-3}c(x)
[/mm]
[mm] z'(x)=c'(x)x^{-3}-3x^{-4}c(x)=-\bruch{3}{x}(x^{-3}c(x))+3x
[/mm]
Terme mit c(x) fallen weg
[mm] =>c'(x)=3x^4
[/mm]
=> c(x)= [mm] \bruch{3}{5}x^5+k (k\in \IR [/mm] )
-in homogene Gleichung einsetzen
=> [mm] z(x)=x^{-3}k+\bruch{3}{5}x^2
[/mm]
3) So, nun muss man noch rücksubstituieren und daher gilt folgendes:
[mm] =>y(x)=|x^{-3}k+\bruch{3}{5}x^2 |^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
Im Prinzip steht da ja 3. Wurzel, also muss gelten
x [mm] \not= \pm(\bruch{5}{3}k)^{1}{6} [/mm] (einfach also im Betrag der Wurzel umgestellt)
4) Anfangswert eingesetzt
[mm] y(1)=1=|1^{-3}k+\bruch{3}{5}1^2 |^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
[mm] =>k=\bruch{2}{5}
[/mm]
5)Lösung
[mm] =>y(x)=|x^{-3}\bruch{2}{5}+\bruch{3}{5}x^2 |^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
Existenzintervall: x [mm] \not= \pm(\bruch{5}{3}\bruch{2}{5})^{1}{6}
[/mm]
[mm] =>(\bruch{2}{3})^{\bruch{1}{6}} [/mm] (weil y(1)=1)
Ich habe mir die Funktion mal plotten lassen und dass heißt die Lösung ist definiert von
y: [mm] \IR^{ \ge(\bruch{2}{3})^{\bruch{1}{6}}} [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
So, nun könnt ihr gerne meinen Ansatz überprüfen.
Vielen Dank schonmal
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Sa 30.10.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo TheBozz-mismo
Die Loesung ist richtig. Bei deine Schreibweise fuer den Definitionsbereich komme ich nicht draus. Die Loesung ist definiert fuer [mm] $x\in\mathbb [/mm] R^+$. Es gilt [mm] $\lim_{x\to 0^+}y(x)=\infty$.
[/mm]
mfG Moudi
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