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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 So 21.04.2013 | | Autor: | Feli_na |
Hallo ihr Lieben,
ich habe eine Kurve C gegeben mit der Parametrisierung [mm] r(t)=(\wurzel{2}cos(t),\wurzel{2}sin(t)) [/mm] , [mm] \bruch{\pi}{4}\le [/mm] t [mm] \le\bruch{3\pi}{4}
[/mm]
und mit dem Anfangspunkt A und dem Endpunkt E. Außerdem hat man einen Bereich B der eingeschlossen ist von der Kurve C und der Strecke [mm] \overline{AE}
[/mm]
Jetzt soll ich den Flächeninhalt von B berechnen und die Koordinaten des geometrischen Schwerpunktes von B berechnen.
Ich habe mir das ganze mal aufgezeichnet, aber ich habe keine Ahnung wie man da rechnerisch überhaupt anfängt, ich habe echt keine Idee.
Kann mir jemand helfen und mir das erklären?
Danke schon mal :)
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Hallo Feli_na,
> Hallo ihr Lieben,
> ich habe eine Kurve C gegeben mit der Parametrisierung
> [mm]r(t)=(\wurzel{2}cos(t),\wurzel{2}sin(t))[/mm] ,
> [mm]\bruch{\pi}{4}\le[/mm] t [mm]\le\bruch{3\pi}{4}[/mm]
> und mit dem Anfangspunkt A und dem Endpunkt E. Außerdem
> hat man einen Bereich B der eingeschlossen ist von der
> Kurve C und der Strecke [mm]\overline{AE}[/mm]
> Jetzt soll ich den Flächeninhalt von B berechnen und die
> Koordinaten des geometrischen Schwerpunktes von B
> berechnen.
> Ich habe mir das ganze mal aufgezeichnet, aber ich habe
> keine Ahnung wie man da rechnerisch überhaupt anfängt,
> ich habe echt keine Idee.
> Kann mir jemand helfen und mir das erklären?
Ich nehme an, die Punkte A und E liegen auf dem Kreis.
Dann ergibt sich der Flächeninhalt zwischen zwei Kurven.
Die eine Kurve ist der Kreis, die andere Kurve die Strecke.
Die Frage, die sich jetzt ergibt, wie berechne ich den Flächeninhalt,
wenn die Kurve nicht in kartesischen Koordinaten ( y als Funktion von x),
sondern in Parameterform (x,y Funktionen vom Parameter t).
Die Flächeninhaltsformel in kartesischen Korrdinaten läßt sich
auf Funktionen in Parameterform umformen:
[mm]A=\integral_{t_{1}}^{t_{2}}{y\left(t\right)*\dot{x}\left(t\right) \ dt}[/mm]
> Danke schon mal :)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 So 21.04.2013 | | Autor: | Feli_na |
Okay, also das verstehe ich jetzt kein bisschen. Ich würde jetzt gerne, eine kluge Frage stellen, aber ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll.
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Hallo Feli_na,
> Okay, also das verstehe ich jetzt kein bisschen. Ich würde
> jetzt gerne, eine kluge Frage stellen, aber ich weiß gar
> nicht wie ich anfangen soll.
Dann stelle einfach die Frage.
Aus Deinem Profil geht nicht hervor,
wie Dein mathematischer Kenntnisstand ist.
Dann kann man Dir auch die entsprechenden Antworten geben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 So 21.04.2013 | | Autor: | Feli_na |
Ich meine, ich habe keine Frage, weil ich überhaupt nicht weiß wie ich anfangen soll. Also wäre wohl die einzige Frage "was soll ich tun bzw wie soll ich das tun?"
Meine Mathe Kenntnisse sind wohl nicht so großartig, jedenfalls kommt es mir grade so vor. Ich mache grade Mathematik II für Chemiker, also an der Uni. Wir hatten erst eine Vorlesung zu Bereichsintegralen und wirklich verstanden habe ich das da nicht.
Wir hatten das Anhand eines Bespiels mit einem Rechteck mit x zwischen a und b, und y zwischen c und d und einer Funktion die eben von x und y abhängig war. Das war dann [mm] \integral_{a}^{b}\integral_{c}^{d}f(x,y)dxdy
[/mm]
aber hier habe ich die Funktion ja in einem kartesischem Koordinatensystem und ich habe keine Ahnung wie ich das darauf anwenden soll.
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Hallo Feli_na,
> Ich meine, ich habe keine Frage, weil ich überhaupt nicht
> weiß wie ich anfangen soll. Also wäre wohl die einzige
> Frage "was soll ich tun bzw wie soll ich das tun?"
> Meine Mathe Kenntnisse sind wohl nicht so großartig,
> jedenfalls kommt es mir grade so vor. Ich mache grade
> Mathematik II für Chemiker, also an der Uni. Wir hatten
> erst eine Vorlesung zu Bereichsintegralen und wirklich
> verstanden habe ich das da nicht.
> Wir hatten das Anhand eines Bespiels mit einem Rechteck
> mit x zwischen a und b, und y zwischen c und d und einer
> Funktion die eben von x und y abhängig war. Das war dann
> [mm]\integral_{a}^{b}\integral_{c}^{d}f(x,y)dxdy[/mm]
> aber hier habe ich die Funktion ja in einem kartesischem
> Koordinatensystem und ich habe keine Ahnung wie ich das
> darauf anwenden soll.
Sicherlich kennst Du dieses Integral:
[mm]A=\integral_{a}^{b}{y\left(x\right) \ dx}[/mm]
Dieses Integal ergibt die Fläche unter der Kurve y(x),
die durch die Geraden x=a und x=b begrenzt wird.
Das ist das Integral in kartesischen Koordinaten.
Ist die Kurve jetzt in Parameterform gegeben:
[mm]r\left(t\right)=\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right)}[/mm]
Dann ist zunächst [mm]x=x\left(t\right), \ y=y\left(t\right)[/mm]
Damit ergibt sich das Differential [mm]dx=\dot{x\left(t\right)} \ dt[/mm]
Daher ergibt sich dann das Integral zu:
[mm]A=\integral_{t_{1}}^{t_{2}}{y\left(t\right) *\dot{x\left(t\right)} \ dt}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 So 21.04.2013 | | Autor: | Feli_na |
Ja gut, das ergibt einen Sinn, danke. Damit ergibt sich dann ja [mm] \integral_{a}^{b}\integral_{c}^{d}{\wurzel{2}sin(t)*-\wurzel{2}sin(t)}
[/mm]
aber wie wähle ich dann die Grenzen?
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Hallo Feli_na,
> Ja gut, das ergibt einen Sinn, danke. Damit ergibt sich
> dann ja
> [mm]\integral_{a}^{b}\integral_{c}^{d}{\wurzel{2}sin(t)*-\wurzel{2}sin(t)}[/mm]
> aber wie wähle ich dann die Grenzen?
Da Du Dir eine Skizze gemacht hast,
erkennst Du als obere begrenzende Funktion einen Kreisbogen.
Die untere begrenzende Funktion ist eine Gerade.
Damit lautet das Bereichsintegral:
[mm]\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{\integral_{g\left(x\right)}^{h\left(x\right)}{ \ dy} \ dx}[/mm]
Wobei g(x) die untere begrenzende Funktion
und h(x) die obere begrenzende Funktion sowie
[mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] die Grenzen
bedeuten, zwischen denen zu integrieren ist.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mo 22.04.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Ich meine, ich habe keine Frage, weil ich überhaupt nicht
> weiß wie ich anfangen soll. Also wäre wohl die einzige
> Frage "was soll ich tun bzw wie soll ich das tun?"
> Meine Mathe Kenntnisse sind wohl nicht so großartig,
> jedenfalls kommt es mir grade so vor. Ich mache grade
> Mathematik II für Chemiker, also an der Uni. Wir hatten
> erst eine Vorlesung zu Bereichsintegralen und wirklich
> verstanden habe ich das da nicht.
> Wir hatten das Anhand eines Bespiels mit einem Rechteck
> mit x zwischen a und b, und y zwischen c und d und einer
> Funktion die eben von x und y abhängig war. Das war dann
> [mm]\integral_{a}^{b}\integral_{c}^{d}f(x,y)dxdy[/mm]
> aber hier habe ich die Funktion ja in einem kartesischem
> Koordinatensystem und ich habe keine Ahnung wie ich das
> darauf anwenden soll.
[mm] $A=\int\int\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
[/mm]
ist das allgemeine Integral zur Berechnung der Fläche in der kartesischen Ebene.
Wenn die Fläche durch die x-Achse zwei Geraden x=b und x=a sowie eine Funktion $f(x)$ begrenzt wird, geht daraus die aus der Schule bekannt Flächenformel hervor:
[mm] $A=\int_{a}^{b}\int_{0}^{f(x)}\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$
[/mm]
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Mhm, das mit dem Bild hat leider nicht geklappt, aber Mach Dir einfach selbst eine Zeichnung.
[mm] $A=r(\frac{\pi}{4})$
[/mm]
[mm] $B=r(\frac{3\pi}{4})$
[/mm]
Mit diesem beiden Punkten und der Verbindungsgeraden hast Du alle Begrenzungen der Fläche gegeben.
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Mo 22.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ihr Lieben,
> ich habe eine Kurve C gegeben mit der Parametrisierung
> [mm]r(t)=(\wurzel{2}cos(t),\wurzel{2}sin(t))[/mm] ,
> [mm]\bruch{\pi}{4}\le[/mm] t [mm]\le\bruch{3\pi}{4}[/mm]
> und mit dem Anfangspunkt A und dem Endpunkt E. Außerdem
> hat man einen Bereich B der eingeschlossen ist von der
> Kurve C und der Strecke [mm]\overline{AE}[/mm]
> Jetzt soll ich den Flächeninhalt von B berechnen und die
> Koordinaten des geometrischen Schwerpunktes von B
> berechnen.
> Ich habe mir das ganze mal aufgezeichnet, aber ich habe
> keine Ahnung wie man da rechnerisch überhaupt anfängt,
> ich habe echt keine Idee.
> Kann mir jemand helfen und mir das erklären?
Parametrisiere [mm] $\partial [/mm] B$ und schau mal hier nach unter "Sektorformel":
http://www.das-gelbe-rechenbuch.de/download/Integralsatz.pdf
FRED
> Danke schon mal :)
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