Bereichsintegral mit Kugelkoordinaten < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hallo,
ein Bereichsintegral, dass man vermutlich durch Kugelkoordinaten vereinfachen/besser rechnen kann. Denke ich jedenfalls, weil es gerade Thema war. Wie fang ich da an?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo...
Must du denn die Oberfläche oder das Volumen davon berechnen??
Liebe Grüße...
Christina
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Man soll lim s->0+ berechnen. Das ist also von "rechts" aus dem positiven gegen 0 gehend das s laufen lassen. Das Bereichsintegral muss sich irgendwie in Kugelkoordinaten ausrücken lassen, damit die Integration einfach wird, so wurde in der Vorlesung gesagt...Nur wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Do 15.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mac dadda
das ist also eine Kugel, in der eine Funktion definiert ist, die im Mittelpunkt gegen Unendlich strebt. Der Mittelpunkt wird also weggelassen, und man nähert sich mit der Integrationsgrenze sachte, sachte gegen den Mittelpunkt. Man integriert also nicht von $0$ bis $R$, sondern von $s$ bis $R$ und lässt $s$ gegen $0$ streben.
Wenn du über einer Kugel eine Funktion zu integrieren hast, dann kannst du ja durch eine Standardsubstitution zu den Kugelkoordinaten [mm] $(r,\varphi,\vartheta)$ [/mm] übergehen, wodurch sich die entsprechenden Grenzen einfach so verhalten:
[mm] $s\le [/mm] r [mm] \le [/mm] R$,
$0 [mm] \le\varphi \le 2\pi$ [/mm] und
[mm] $-\bruch{\pi}{2} \le \vartheta \le \bruch{\pi}{2}$ [/mm]
Deine Funktion sieht dann einfach so aus: [mm] $\bruch{1}{r}$
[/mm]
Bei der Koordinatentransformation muss aber die Funktion noch mit [mm] $r^{2}*\cos(\vartheta)$ [/mm] multipliziert werden.
Du hast somit nur noch
[mm] $\integral\integral\integral r*\cos(\vartheta)\, d\varphi\, d\vartheta\, [/mm] dr$ in den oben angegebenen Grenzen zu integrieren und $s$ gegen $0$ laufen zu lassen, was aber kein Problem darstellt, weil ja die transformierte Funktion jetzt im ganzen Bereich definiert ist. (Das heisst, für $s$ darf $0$ eingesetzt werden). Dies ist erlaubt, weil ja der Mittelpunkt der Kugel eine Nullmenge darstellt.
Mit lieben Grüssen
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