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Hiho,
ich soll den Satz von Green anwenden und muss dafür den Bereich [mm] Q=[0,\pi/2]\times[0,\pi/2] [/mm] parametreiseren (um dann die Kurvenintegrale einzeln bestimmen zu können, aber darum solls es jetzt nüscht gehen).
Wenn ich mir das vorstelle, dann wäre der Bereich für mich quasi ein Quadrat mit den Eckpunkten (0;0), [mm] (\pi/2; [/mm] 0), [mm] (\pi/2; \pi/2) [/mm] und (0; [mm] \pi/2).
[/mm]
Will ich also den Rand als Wege von Kurven beschreiben, bekäme ich folgende Parametrisierungen raus:
[mm] \gamma_1 [/mm] = [mm] (0;0)+t*(\frac{\pi}{2};0) [/mm] = [mm] (t*\frac{\pi}{2};0)
[/mm]
[mm] \gamma_2 [/mm] = [mm] (\frac{\pi}{2};0)+t*(0;\frac{\pi}{2}) [/mm] = [mm] (\frac{\pi}{2}; t*\frac{\pi}{2})
[/mm]
[mm] \gamma_3 [/mm] = [mm] (\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})+t*(-\frac{\pi}{2};0) [/mm] = [mm] (\frac{\pi}{2}-t*\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})
[/mm]
[mm] \gamma_4=(0;\frac{\pi}{2})+t*(0;-\frac{\pi}{2}) [/mm] = (0; [mm] \frac{\pi}{2}-t*\frac{\pi}{2})
[/mm]
So, eine Lösung gibt aber an:
[mm] \gamma_1 [/mm] = (t;0)
[mm] \gamma_2 [/mm] = [mm] (\frac{\pi}{2};t)
[/mm]
[mm] \gamma_3 [/mm] = [mm] (\frac{\pi}{2}-t; \frac{\pi}{2})
[/mm]
[mm] \gamma_4 [/mm] = (0; [mm] \frac{\pi}{2}-t)
[/mm]
Die Lösungen sind ja fast identisch, außer, dass bei mir immer zum t ein [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] multipliziert wird... Ist das trotzdem beides richtig? Bzw. warum darf ich dann den Faktor [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] einfach weglassen?
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Hallo Der-Madde-Freund,
> Hiho,
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> ich soll den Satz von Green anwenden und muss dafür den
> Bereich [mm]Q=[0,\pi/2]\times[0,\pi/2][/mm] parametreiseren (um dann
> die Kurvenintegrale einzeln bestimmen zu können, aber
> darum solls es jetzt nüscht gehen).
>
> Wenn ich mir das vorstelle, dann wäre der Bereich für
> mich quasi ein Quadrat mit den Eckpunkten (0;0), [mm](\pi/2;[/mm]
> 0), [mm](\pi/2; \pi/2)[/mm] und (0; [mm]\pi/2).[/mm]
>
> Will ich also den Rand als Wege von Kurven beschreiben,
> bekäme ich folgende Parametrisierungen raus:
>
> [mm]\gamma_1[/mm] = [mm](0;0)+t*(\frac{\pi}{2};0)[/mm] = [mm](t*\frac{\pi}{2};0)[/mm]
>
> [mm]\gamma_2[/mm] = [mm](\frac{\pi}{2};0)+t*(0;\frac{\pi}{2})[/mm] =
> [mm](\frac{\pi}{2}; t*\frac{\pi}{2})[/mm]
>
> [mm]\gamma_3[/mm] =
> [mm](\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})+t*(-\frac{\pi}{2};0)[/mm] =
> [mm](\frac{\pi}{2}-t*\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})[/mm]
>
> [mm]\gamma_4=(0;\frac{\pi}{2})+t*(0;-\frac{\pi}{2})[/mm] = (0;
> [mm]\frac{\pi}{2}-t*\frac{\pi}{2})[/mm]
>
> So, eine Lösung gibt aber an:
> [mm]\gamma_1[/mm] = (t;0)
>
> [mm]\gamma_2[/mm] = [mm](\frac{\pi}{2};t)[/mm]
>
> [mm]\gamma_3[/mm] = [mm](\frac{\pi}{2}-t; \frac{\pi}{2})[/mm]
>
> [mm]\gamma_4[/mm] = (0; [mm]\frac{\pi}{2}-t)[/mm]
>
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> Die Lösungen sind ja fast identisch, außer, dass bei mir
> immer zum t ein [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] multipliziert wird... Ist das
> trotzdem beides richtig? Bzw. warum darf ich dann den
> Faktor [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] einfach weglassen?
Der Grund ist der, dass in der Lösung der Parameterbereich [mm]\left[0;1\right][/mm]
gewählt worden ist. Während bei Deiner Lösung der
Parameterbereich [mm]\left[0;\bruch{\pi}{2}\right][/mm] gewählt wurde.
Gruss
MathePower
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Und wie genau "verschiebe" ich diese Parameterbereiche dann? Indem ich sage, dass überall wo ein t steht ich durch [mm] \pi/2 [/mm] teile?
Wenn ich für meinen Parameterbereich dann die Kurvenintegrale einzeln berechne, muss ich dann das Integral von 0 bis 1 laufen lassen? Wenn ja, wieso??
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> Und wie genau "verschiebe" ich diese Parameterbereiche
> dann? Indem ich sage, dass überall wo ein t steht ich
> durch [mm]\pi/2[/mm] teile?
Du musst doch gar keine Bereiche "verschieben".
Entscheide dich einfach für eine der beiden Möglich-
keiten.
Wenn du beide Möglichkeiten betrachten willst,
wäre es sinnvoll, deren Parameter unterschiedlich
zu bezeichnen, also nicht beide mit t, sondern
mit t und u, wobei [mm] u:=t*\pi/2 [/mm] .
> Wenn ich für meinen Parameterbereich dann die
> Kurvenintegrale einzeln berechne, muss ich dann das
> Integral von 0 bis 1 laufen lassen? Wenn ja, wieso??
Wenn t von 0 bis 1 läuft, läuft u von 0 bis [mm] \pi/2 [/mm] -
ganz simpel ...
LG Al-Chw.
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