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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Fr 30.11.2007 | | Autor: | marteen |
| Aufgabe | Berechne:
a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{3^{k}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{4^{k-1}}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{4}{5^{k}}
[/mm]
d) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^{2}+2k+5}{k!} [/mm] |
Hallo,
ich sitze seit geraumer Zeit vor diesen Reihen und bekomme es einfach nicht hin. Ich weiß, dass das ganze sich irgendwie mit der geometrischen Reihe lösen lässt, aber komme einfach keinen Schritt vorran. Die geometrische Reihe kann ich doch mit
[mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
verwenden oder? Bei mir würde das bei a) so etwas wie
[mm] \bruch{1-(-1)^{n+1}}{1-(-1)}
[/mm]
und
[mm] \bruch{1-3^{n+1}}{1-3}
[/mm]
geben...aber da komme ich nicht weiter, jetzt müsste ich n gegen unendlich laufen lassen?! Ich bin verwirrt, wei das bei mir nicht klappt bzw. ich bekomme keinen Zahlenwert. VIelleicht verstehe ich die Anwendung der geometrischen Reihe aber auch total falsch.
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Fr 30.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechne:
>
> a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{3^{k}}[/mm]
> b)
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{4^{k-1}}[/mm]
> c)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{4}{5^{k}}[/mm]
> d)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^{2}+2k+5}{k!}[/mm]
> Hallo,
>
> ich sitze seit geraumer Zeit vor diesen Reihen und bekomme
> es einfach nicht hin. Ich weiß, dass das ganze sich
> irgendwie mit der geometrischen Reihe lösen lässt, aber
> komme einfach keinen Schritt vorran. Die geometrische Reihe
> kann ich doch mit
>
> [mm]\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
>
> verwenden oder?
Nicht ganz. Dies ist eine endliche geometrische Summe, nämlich
[mm]\summe_{k=0}^{n} q^k [/mm]
Dies gilt für beliebige Werte von q.
Bei mir würde das bei a) so etwas wie
>
> [mm]\bruch{1-(-1)^{n+1}}{1-(-1)}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\bruch{1-3^{n+1}}{1-3}[/mm]
>
> geben...
Nicht ganz richtig, aber da komme ich gleich drauf zurück.
Wie du selbst richtig sagst, ergibt das für [mm]n\rightarrow \infty[/mm] keinen Sinn.
Das siehst du auch an deiner Formel
[mm]\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
Wenn hier q>1 ist, dann wird die der Zähler mit steigendem n immer größer.
Ist hier aber [mm]0
[mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} = \bruch{1}{1-q}[/mm]
Das ist das Ergebnis für die geometrische Reihe
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^k [/mm]
aber nur, wenn [mm]|q|<1[/mm].
Nehmen wir mal die Aufgabe a)
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{3^{k}} = \summe_{k=0}^{\infty} \left(\bruch{-1}{3}\right)^k[/mm]
Wenn du das mit der Formel von eben vergleichst, siehst du, dass [mm]q=\bruch{-1}{3}[/mm]. Die Voraussetzung [mm]|q|<1[/mm] ist auch erfüllt, also kannst du sofort das Ergebnis
[mm] \bruch{1}{1-q} = \bruch{1}{1-\bruch{-1}{3}} = \bruch{3}{4} [/mm]
hinschreiben.
Ein paar Tipps, die bei solchen Rechnungen helfen:
Hätte da zum Beispiel die Frage nach
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{3^{k}} [/mm]
gestanden (Summe fängt bei 1 an statt bei 0), dann hättest du es trotzdem ausrechnen können, denn du das Glied für k =0 kannst du einfach ausrechnen und abziehen:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{3^{k}} = \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{3^{k}} - 1 = -\bruch{1}{4}[/mm]
Ein anderer Weg zum gleichen Ziel:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{3^{k}} = - \bruch{1}{3} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{3^{k-1}} \mathop{=}\limits_{\overbrace{k=l+1}} - \bruch{1}{3}\summe_{l=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{l}}{3^{l}} = -\bruch{1}{3} * \bruch{3}{4} = -\bruch{1}{4}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Fr 30.11.2007 | | Autor: | marteen |
Vielen vielen Dank für die Mühe! Super Erklärung.
Hänge jetzt leider bei der d) fest. Mein Ansatz ist leider auch sehr dürftig, wäre über einen Tipp sehr froh.
Habe das ganze umgeformt zu
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k!} (k^{2}+2k+5)
[/mm]
Dann habe ich mir überlegt, dass ich [mm] \bruch{1}{k!} [/mm] als e aus der Summe ziehen kann mit
[mm] \Rightarrow \((e-1) \summe_{k=1}^{\infty}(k^{2}+2k+5)
[/mm]
Ich weiß nicht, ob das so möglich ist...meine Überlegung war, dass die Summe ja bei 1 startet und ich deshalb (e-1) herausziehen kann...ist das so korrekt? Bin aber etwas ratlos, wie ich weiter vorgehen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Sa 01.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
was du gemacht hast ist ziemlich schlimm!
Du kannst doch nicht einen Faktor einzeln summieren !
nach dir: 2(3+4)+2*(4+5) 2+2 kann ich schon mal also 4*(3+4+4+5)!!!
aber 5/k! 5 vor die Summe, das geht k/k! kürzen Summe dan bei 2 anfangen, ähnlich bei [mm] k^2 [/mm] da musst du 2 mal umformen.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:06 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo marteen!
Bei Aufgabe d.) musst Du wie folgt beginnen:
[mm] $$\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2+2k+5}{k!}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \left(\bruch{k^2}{k!}+\bruch{2k}{k!}+\bruch{5}{k!}\right)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{(k-1)!}+2*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(k-1)!}+5*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
> [mm]= \ \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{(k-1)!}+2*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(k-1)!}+5*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}[/mm]
So habe ich gestern auch angefangen. Wenn ich dann weiterrechne, komme ich auf ein Ergebnis von [mm]8e-5\![/mm]. Wenn ich aber zur Probe z.B. 1000 statt "unendlich"
in die Summe einsetze, erhalte ich ~ 19.4 und nicht 16.7. Wie kommt das? Hier meine Rechnung:
[mm]= \left(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{k+1}{k!}}\right)+2\left(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}\right)+5\left(\left(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}\right)-1\right)[/mm]
[mm]= \underbrace{\left(\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{(k-1)!}}\right)}_{=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}}+\left(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}\right)+2\left(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}\right)+5\left(\left(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}\right)-1\right)[/mm]
[mm]=e+e+2e+5(e-1)=8e-5\![/mm]
Wo steckt bloß mein Fehler?
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Karl!
Es gilt doch $e+e+2*e+5*e-5 \ = \ [mm] \red{9}*e-5 [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 19.46$ . 
Aber mal eine Gegenfrage: wie bist Du bei der ersten Teilsumme mit dem Startsummanden [mm] $\bruch{1}{(-1)!}$ [/mm] umgegangen? Gibt es für Fakultäten negativer Zahlen eine Definition?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Sa 01.12.2007 | | Autor: | marteen |
Hallo,
erstmal vielen Dank, ich habe gemerkt, dass das ein dummer Fehler war (e-1) heraus zu ziehen Jetzt habe ich mit Loddars Tipp gerechnet und bin angekommen bei:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{(k-1)!} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm] + 2 [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm] + 5 [mm] ((\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!})-1)
[/mm]
Ist das soweit korrekt?
Wenn ja bräuchte ich einen Tipp, was ich mit [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{(k-1)!} [/mm] anstellen kann um ein e dort zu haben.
Ich habe gerade das Posting von Karl_Pech gelesen... die Idee $ [mm] \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{k}{k!}}=\sum_{k=\textcolor{red}{1}}^{\infty}{\frac{k}{k!}} \mathop =^{\texttt{kürzen}} \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{(k-1)!}} [/mm] $
finde ich sehr schlüssig und einleuchtend. Spricht etwas dagegen oder lässt sich das so lösen?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Sa 01.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
dabei tritt 0! im Nenner auf.
um auf e zu kommen musst du noch die Summation ändern, so dass 1/i! im Nenner steht.
Gruss leduart
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