Berechnung von Interpolationsp < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Balodil |
| Aufgabe | Berechne das Interpolationspolynom [mm] p_{3} [/mm] zu den Daten
i 1 2 3 4
[mm] x_{i} [/mm] -1 1 2 3
[mm] y_{i} [/mm] -2 0 1 10
(i) mit Lagrangepolynomen und
(ii) mithilfe dividierter Differenzen
Bringe das Polynom jeweils in die Standradform [mm] p_{3} [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{3} a_j x^j. [/mm] Aus welcher der beiden Rechnung lässt sich direkt ein Polynom [mm] p_{2} [/mm] /in [mm] II_{2} [/mm] ablesen, das durch die Punkte [mm] (x_{j},y_{j}) [/mm] j = 0,1,2 geht? Gib auch dieses Polynom an. |
Halli Hallo!
Zur (i)
Also das ist soweit alles klar, ich habe meine [mm] L_{i} [/mm] berechnet und dann das Polynom mit y-Werten aufgestellt
[mm] p_{3} [/mm] = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] + 1
Zur (ii)
Auch hier soweit alles klar, ich habe das Tableu aufgestellt und die [mm] a_{i} [/mm] berechnet
[mm] a_{0} [/mm] = -2 [mm] a_{1} [/mm] = 1 [mm] a_{2} [/mm] = 0 [mm] a_{3} [/mm] = 1
Dann ins Polynom eingesetzt [mm] p_{3} [/mm] = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] (x-x_{0}) a_{1} [/mm] + usw.
Da kommt dann raus [mm] x^3 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] + 1
Also dasselbe wie oben, macht ja auch Sinn.
So wo ich jetzt aber nicht wieter komme ist:
Die Polynome auf Standardform bringen, da versteht ich nicht so recht wie ich das a bestimmen sollen.
VIelen Dank! :)
lg
Balodil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Mi 25.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechne das Interpolationspolynom [mm]p_{3}[/mm] zu den Daten
> i 1 2 3 4
> [mm]x_{i}[/mm] -1 1 2 3
> [mm]y_{i}[/mm] -2 0 1 10
>
> (i) mit Lagrangepolynomen und
> (ii) mithilfe dividierter Differenzen
>
> Bringe das Polynom jeweils in die Standradform [mm]p_{3}[/mm] =
> [mm]\summe_{j=0}^{3} a_j x^j.[/mm] Aus welcher der beiden Rechnung
> lässt sich direkt ein Polynom [mm]p_{2}[/mm] /in [mm]II_{2}[/mm] ablesen,
> das durch die Punkte [mm](x_{j},y_{j})[/mm] j = 0,1,2 geht? Gib auch
> dieses Polynom an.
> Halli Hallo!
>
> Zur (i)
> Also das ist soweit alles klar, ich habe meine [mm]L_{i}[/mm]
> berechnet und dann das Polynom mit y-Werten aufgestellt
> [mm]p_{3}[/mm] = [mm]x^3[/mm] - [mm]2x^2[/mm] + 1
>
> Zur (ii)
> Auch hier soweit alles klar, ich habe das Tableu
> aufgestellt und die [mm]a_{i}[/mm] berechnet
> [mm]a_{0}[/mm] = -2 [mm]a_{1}[/mm] = 1 [mm]a_{2}[/mm] = 0 [mm]a_{3}[/mm] = 1
> Dann ins Polynom eingesetzt [mm]p_{3}[/mm] = [mm]a_{0}[/mm] + [mm](x-x_{0}) a_{1}[/mm]
> + usw.
> Da kommt dann raus [mm]x^3[/mm] - [mm]2x^2[/mm] + 1
> Also dasselbe wie oben, macht ja auch Sinn.
>
> So wo ich jetzt aber nicht wieter komme ist:
> Die Polynome auf Standardform bringen, da versteht ich
> nicht so recht wie ich das a bestimmen sollen.
Meinst Du die Koeff. [mm] a_j [/mm] in
$ [mm] p_{3}(x) [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{3} a_j x^j [/mm] $ ?
Das schreiben wir mal aus:
[mm] $p_3(x)=a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3$
[/mm]
und vergleichen mit Deinem Resultat:
$ [mm] p_{3}(x) [/mm] = [mm] 1+0*x+(-2)*x^2+1*x^3$
[/mm]
Merkst Du was ?
FRED
>
> VIelen Dank! :)
>
> lg
> Balodil
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Balodil |
Oh okay.
So hatte ich mir das auch gedacht, aber ich hatte nach einem allgemeinen [mm] \alpha [/mm] gesucht :S, das dieses Polynom erfüllt.
Danke schön!
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