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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Fr 23.06.2006 | | Autor: | crash24 |
| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende Integral:
a) [mm] \integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2}}{x^2 cos(x) dx} [/mm] |
Hallo 
Ich habe schon versucht diese Aufgabe zu lösen. Leider habe ich noch nicht so viel Erfahrung im Integrieren.
Hier ist meine Lösung:
[mm]\integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2}}{x^2 cos(x) dx} = \bruch{1}{3}x^3 * (-sin(x))[/mm]
[mm]= \bruch{1}{3}*\left( \bruch{\pi}{2}\right)^3 * \left(-sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)\right) - \bruch{1}{3}*0^3 * \left(-sin\left(0\right)\right)[/mm]
[mm]= 243.000 * (-90)[/mm]
[mm]= -21.870.000[/mm]
Ich bin mir nicht so sicher, ob dieses Ergebnis stimmt.
Würde mich freuen, wenn jemand die Lösung prüfen könnte.
Gruß
crash
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Fr 23.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo crash,
> Hier ist meine Lösung:
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> [mm]\integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2}}{x^2 cos(x) dx} = \bruch{1}{3}x^3 * (-sin(x))[/mm]
Autsch!
> [mm]= -21.870.000[/mm]
Was für ein irrsinnig große Betrag! Da muss doch was faul sein...
Du hast da ein Produkt! Nämlich [mm] $x^2\ [/mm] *\ [mm] \cos{x}$
[/mm]
Und so wie Du beim Ableiten die Produktregel anwenden müsstest, gibt es auch für das Integrieren eine Art Produktregel, die nur leider etwas komplizierter ausschaut:
[mm] $\integral{u'*v}\ [/mm] dx = uv - [mm] \integral{u*v'}\ [/mm] dx$
Das geht jetzt eigentlich nicht ohne weitere Erklärung, aber vielleicht erkennst Du's ja jetzt wieder und kannst damit weiter machen. Sonst frag nach!
Übrigens erhältst Du in diesem Fall nach einmaliger Anwendung der Regel rechts wieder ein Integral mit einem Produkt, so dass Du diese Regel ein weiteres Mal anwenden musst.
Hat's schon geholfen?
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Fr 23.06.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo crash,
> Berechnen Sie das folgende Integral:
>
> a) [mm]\integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2}}{x^2 cos(x) dx}[/mm]
>
> Hallo
>
> Ich habe schon versucht diese Aufgabe zu lösen. Leider habe
> ich noch nicht so viel Erfahrung im Integrieren.
>
> Hier ist meine Lösung:
>
> [mm]\integral_{0}^{ \bruch{\pi}{2}}{x^2 cos(x) dx} = \bruch{1}{3}x^3 * (-sin(x))[/mm]
>
Das ist ja schon kommentiert. Prüfe Deine Stammfunktion, indem Du sie ableitest.
> [mm]= \bruch{1}{3}*\left( \bruch{\pi}{2}\right)^3 * \left(-sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)\right) - \bruch{1}{3}*0^3 * \left(-sin\left(0\right)\right)[/mm]
>
> [mm]= 243.000 * (-90)[/mm]
>
> [mm]= -21.870.000[/mm]
>
>
> Ich bin mir nicht so sicher, ob dieses Ergebnis stimmt.
Aber auch die Rechnungen sind gründlich verkehrt.
Wie hast Du denn [mm] $\frac{1}{3} (\frac{\pi}{2})^3 [/mm] $ausgerechnet?
Als Überschlag mit [mm] \pi [/mm] = 3 gibt es 9/8. Das ist so weit von Deinen Hunderttausenden entfernt.
Dann stellt der Sinus keine Umrechnung vom Bogenmaß in Winkelgrad dar. Der Sinus kann nur zwischen -1 und +1 ergebn. Die -90 an der Stelle sind sehr merkwürdig.
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Die Funktion [mm] {f:\IR\to\IR} [/mm] mit [mm] {f(x)=x^{2}*cos{(x)}} [/mm] soll wie folgt integriert werden :
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{0}}{f(x) dx} [/mm]
ok, soweit klingts plausibel, aber wie machen?
Deine Lösung, das ganze "as it is" zu integrieren ist leider etwas zu leicht  man muss schon etwas weiter ausholen, die Hinweise hast Du alle schon von meinen Vorrednern bekommen. Ich gebe Dir noch die passende Zerlegung in Faktoren u(x) und v'(x) an und hoffe Dir weiterhelfen zu können:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{0}}x^{2}*cos{(x)}
[/mm]
[mm] {u(x)=x^{2}} [/mm]
[mm] {u^{'}(x)=2x}
[/mm]
[mm] {v^{'}(x)=cos(x)}
[/mm]
[mm] {v^{}(x)=sin(x)}
[/mm]
Das einsetzen in folgende Gleichung führt nach nochmaligem Anwenden der selben Regel, einigen "elementaren Umformungen" und dem Integrieren schließlich zur Lösung:
[mm] {u(x)*v(x)-\integral_{0}^{\bruch{\pi}{0}}{u^{'}(x)*v(x)}}
[/mm]
TIPP: Ein konstanter Faktor darf vor das Integral gezogen werden!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Sa 24.06.2006 | | Autor: | crash24 |
Ich glaube ich habe zu o. a. Aufgabe eine richtige Lösung gefunden:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{x^2 * cos(x) dx} = x^2 * sin(x) - 2 * \left(-x * cos(x) + sin(x)\right) |_{0}^{\bruch{\pi}{2}}[/mm]
[mm]= x^2 * sin(x) + 2x * cos(x) - 2 * sin(x) |_{0}^{\bruch{\pi}{2}}[/mm]
Werte eingesetzt:
[mm]= \left(\bruch{\pi}{2}\right)^2 * sin\left(\bruch{\pi}{2}\right) + 2\left(\bruch{\pi}{2}\right) * cos\left(\bruch{\pi}{2}\right) - 2 * sin\left(\bruch{\pi}{2}\right) - \left(0^2 - sin\left(0\right) + 2*0 * cos\left(0\right) - 2 * sin\left(0\right)\right)[/mm]
[mm] = 0,4674011 [/mm]
Würde mich freuen, wenn mir das Ergebnis jemand bestätigen könnte.
Gruß
crash
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Sa 24.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo crash!
Kurz und knapp: ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig!
Gruß
Loddar
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