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| Aufgabe | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n}) [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}((\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n})(\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n}))/(\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n}) [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1/(\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n})) [/mm] = 0 |
Hallo,
diese Lösung verwirrt mich ein bisschen.
Also, wenn man mir die Aufgabe stellen würde:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n})=?
[/mm]
würde ich sofort sagen = 0, weil wenn ja n unendlich groß wird, nähert sich [mm] \wurzel[2]{n+1} [/mm] an [mm] \wurzel[2]{n} [/mm] und subtrahiert ist das ganze ja 0..
nun die Erweiterung mit [mm] (\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n}) [/mm] ist klar, aber wieso wird im Zähler das Produkt [mm] (\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n})(\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n}) [/mm] = 1 ????
Und dann auch die Frage wieso ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1/(\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n})) [/mm] = 0
Ich würde sagen, dass es wie oben ist, also wenn n unendlich groß, dann kriegt man im Nenner 0 und 1/0 darf man ja nicht haben.. Und wenn man es haben dürfte würde ich eher sagen dass 1/0 = 1 ist.. Oder?
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Hallo matheonline,
da stimmen ein paar Sachen nicht:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n})[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}((\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n})(\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n}))/(\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n})[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1/(\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n}))[/mm]
> = 0
> Hallo,
> diese Lösung verwirrt mich ein bisschen.
> Also, wenn man mir die Aufgabe stellen würde:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n})=?[/mm]
> würde ich sofort sagen = 0, weil wenn ja n unendlich
> groß wird, nähert sich [mm]\wurzel[2]{n+1}[/mm] an [mm]\wurzel[2]{n}[/mm]
> und subtrahiert ist das ganze ja 0..
Klingt gut, aber Gefühlslösungen liegen oft falsch. Man muss es ggf. auch zeigen können, darum geht es hier.
> nun die Erweiterung mit [mm](\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n})[/mm]
> ist klar,
Ganz und gar nicht.
Man erweitert mit [mm] \bruch{\wurzel{n+1}\blue{+}\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}\blue{+}\wurzel{n}}
[/mm]
> aber wieso wird im Zähler das Produkt
> [mm](\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n})(\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n})[/mm]
> = 1 ????
Tuts nur, wenn Du richtig erweiterst, s.o.
Dann dritte binomische Formel.
> Und dann auch die Frage wieso ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1/(\wurzel[2]{n+1}-\wurzel[2]{n}))[/mm]
> = 0
Wieder eine Folge der falschen Erweiterung!
> Ich würde sagen, dass es wie oben ist, also wenn n
> unendlich groß, dann kriegt man im Nenner 0 und 1/0 darf
> man ja nicht haben.. Und wenn man es haben dürfte würde
> ich eher sagen dass 1/0 = 1 ist.. Oder?
Wohl kaum. Wenn der Zähler stabil 1 ist und der Nenner gegen Null geht, dann... ...kommt sicher nicht 1 heraus.
Grüße
reverend
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