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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Mo 11.09.2006 | | Autor: | Jay-Jay |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aufgabe:
Eine zur Y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung hat in A (2/0) einen Wendepunkt und geht durch B (4/-3). Wie groß ist die Fläche zwischen der Kurve und ihren Wendetangenten?
Nachdem ich mir Überlegungen zum Aussehen des Graphen und dessen Wendetangenten gemacht hab, wollte ich zunächst die Funktionsgleichung berechnen, das wäre doch dann eine Steckbriefaufgabe oder?
Ansatz: [mm] f(x)=ax^4+bx^2+c
[/mm]
Hier bräuchte ich doch dann mindestens 4 Bedingungen, um das Gleichungssystem lösen zu können, oder?
Ich kam jedoch nur auf drei:
f(2)=0 => 0=16a+4b+c
f(4)=-3 => -3=256a+16b+c
f''(2)=0 => 0=48a+2b
Wer kann mir hier weiterhelfen?
Danke schonmal im Voraus ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Mo 11.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi jay-jay!
du hast der aufgabenstellung schon richtig entnommen, dass die terme mit [mm] x^3 [/mm] und [mm]x[/mm] wegfallen ("symmerisch").
jetzt hast nur noch 3 unbekannte in [mm]f(x)=ax^4+bx^2+c[/mm]
dazu brauchst du auch nur 3 gleichungen, die du auch schon richtig aufgestellt hast:
I: 16a+4b+c=0
II: 256a+16b+c=-3
III: 48a+2b=0
das zu lösen ist wirklich kein problem:
aus III folgt sofort: b=-24a
eingesetzt in I: -80a+c=0 --> c=80a
beides in II eingesetzt: -48a=-3 --> a=1/16
kommst du von hier an klar?
lieben gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mo 11.09.2006 | | Autor: | Jay-Jay |
Dankeschön Fulla.
Dann hätte ich mir die Frage eigentlich sparen können, ich dachte nur wie gesagt, dass ich 4 Bedingungen brauche.
Hab jetzt mal weitergerechnet und kam auch locker auf die Gleichung der Parabel und auf die Wendetangentengleichungen.
Allerdings weiß ich jetzt irgendwie nicht, wie die Differenzfunktion lautet :/
[mm] f(x)=1/16x^4-3/2x^2+5 [/mm]
g(x)=-4x+8
Könntest du mir hier nochmal weiterhelfen?
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mo 11.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi nochmal!
du hast die funktionsgleichung und eine der tangentengleichungen richtig berechnet!
es gibt jedoch 2 wendepunkte und zwar bei [mm] x=\pm2
[/mm]
für die zweite wendetangente ergibt sich [mm] t_2(x)=4x+8
[/mm]
ich hab mal ein bild von der funktion und den tangenten gemacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
da die funktion symmetrisch ist, reicht es, wenn man z.b. die fläche zwischen der gelben tangente und der funktion zwischen 0 und dem schnittpunkt ausrechnet und dann verdoppelt.
den schnittpunkt bekommt man, in dem man die beiden funktionen gleichsetzt:
[mm]f(x)=t_2(x)\gdw \bruch{1}{16}x^4-\bruch{3}{2}x^2+5=4x+8[/mm]
[mm] \Rightarrow x^4-24x^3-64x-48=0
[/mm]
wir wissen schon, dass bei x=-2 ein schnittpunkt ist (da ist der wendepunkt), also --> polynomdivision durch (x+2)
mit ein wenig tüfteln, überlegen, ausprobieren... findest du dann auch den 2. schnittpunkt.
beim integrieren musst du aufpassen, weil ein stück der fläche unterhalb der x-achse liegt... am besten zerlegst du das integral in 3 teile.
jetzt sollte der lösung eigentlich nichts mehr im wege stehen 
[zur kontrolle: A=176]
lieben gruß,
Fulla
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mo 11.09.2006 | | Autor: | Jay-Jay |
Okay danke;)
Also das: t $ [mm] \Rightarrow x^4-24x^3-64x-48=0 [/mm] $ ist dann die Differenzfunktion?
Das mit dem anderen Wendepunkt wusste ich, aber ich dachte mir dass ich einfach nur auf der einen Seite die Fläche berechne und das dann verdopple.(wegen der Symmetrie)
Bist du dir sicher mit dem was du zum Integrieren geschrieben hast?
Meiner Meinung nach ist die Fläche zwischen beiden Tangenten und dem einen Hochpunkt gesucht, da zwischen 5 und 8 auf der Y-Achse, weißt du was ich meine? Deswegen wollte ich die Differenzfunktion wissen.
Danke ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Mo 11.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi
hmm.... vielleicht hast du recht 
du meinst die kleine "spitze" bei der y-achse?
die fläche wäre dann
[mm] 2*\integral_{0}^{2}{t_1(x)-f(x)dx}=2*\integral_{0}^{2}{-4x+8-\left(\bruch{1}{16}x^4-\bruch{3}{2}x^2+5\right)dx}
[/mm]
das meinst du dann mit "differenzfunnktion" (sorry, der begriff ist mir nicht geläufig): [mm]-\bruch{1}{16}x^4+\bruch{3}{2}x^2-4x+3[/mm] oder?
hilft dir das?
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mo 11.09.2006 | | Autor: | Jay-Jay |
Abend,
ja genau diese kleine Spitze meine ich.
Jap, das meinte ich mit der Differenzfunktion, wusste nur nicht wie ich darauf komme.
[mm] \integral_{0}^{2}{-1/16x^4+3/2x^2-4x+3 dx}
[/mm]
Hier wollte ich jetzt für x = 2 einsetzen, aber hab gerade gemerkt dass dann 0 rauskommen würde.
Sehe ich das falsch, oder muss ich erst einmal die Stammfunktion der Differenzfunktion bilden?
Die wäre dann: [mm] 1/80x^5+1/2x^3-2x^2+3x [/mm] oder??
Diese integriert und 2 eingesetzt, dann würde ich auf ein Ergebnis von 10,4 kommen, also wäre die gesamte gesuchte Fläche 20,8 FE groß, stimmt das?
Danke, du hast mir (auch wenn das jetzt falsch sein sollte;) ) echt weitergeholfen.
Schönen Abend noch.
Jay-Jay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mo 11.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Abend,
auch so
>
> ja genau diese kleine Spitze meine ich.
> Jap, das meinte ich mit der Differenzfunktion, wusste nur
> nicht wie ich darauf komme.
> [mm]\integral_{0}^{2}{-1/16x^4+3/2x^2-4x+3 dx}[/mm]
> Hier wollte
> ich jetzt für x = 2 einsetzen, aber hab gerade gemerkt dass
> dann 0 rauskommen würde.
> Sehe ich das falsch, oder muss ich erst einmal die
> Stammfunktion der Differenzfunktion bilden?
yep
> Die wäre dann: [mm]1/80x^5+1/2x^3-2x^2+3x[/mm] oder??
korrekt
>
> Diese integriert und 2 eingesetzt, dann würde ich auf ein
> Ergebnis von 10,4 kommen, also wäre die gesamte gesuchte
> Fläche 20,8 FE groß, stimmt das?
Du meinst glaube ich das richtige, drückst es aber falsch aus.
Das Integrieren ist ja das Bilden derStammfunktion F
Die Fläche ist (F(2)- F(0))*2 wegen der Symmetrie
>
> Danke, du hast mir (auch wenn das jetzt falsch sein
> sollte;) ) echt weitergeholfen.
> Schönen Abend noch.
> Jay-Jay
Dir auch
Marius
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