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| Aufgabe | Berechne [mm] A^{20}
[/mm]
[mm] A=\pmat{ 1 & 4 \\ -1 & -3 } [/mm] |
Hallo zusammen
ich habe die folgende Aufgabe erhalten. Nun eigentlich dachte ich, dass ich weiss wie man die Aufgabe löst. Aber irgendwo hat sich bei mir ein Fehler eingeschlichen den ich einfach nicht finde.
Hier mein Lösungsansatz:
zuerst berechne ich die beiden Eigenvektoren von A. dies ergibt [mm] S=\pmat{ 2 & 1 \\ -1 & 0 }, [/mm] anschliessend berechne ich [mm] S^{-1}=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 2 }, [/mm] dadurch sollte ich nun M berechnen können, da [mm] M=S^{-1}*A*S [/mm] ergibt dies [mm] M=\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 }
[/mm]
Nun sollte ich ja einfach [mm] S*M^{20}*S^{-1} [/mm] rechnen können um auf das richtige resultat zu kommen dies klappt aber nicht.
Gemäss Matlab ist die korrekte lösung nämlich [mm] \pmat{ -39 & -80 \\ 20 & 41 }, [/mm] und auf die komme ich bei weitem nicht.
Ich bin mir nicht sicher ob ich irgend etwas mit dem Matrixexponential verwechsle oder so...
Es wäre echt super wenn mir jemand von euch helfen könnte und mir sagen kann, was ich genau falsch mache..
Danke schön
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Mi 23.02.2011 | | Autor: | fred97 |
1. Ich hab nicht alles nachgerechnet.
2. Für
$ [mm] M=\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm] $
komme ich auf
$ [mm] M^n=(-1)^{n+1}\pmat{ -1 & n \\ 0 & -1 } [/mm] $ (n [mm] \in \IN)
[/mm]
(Induktion !!)
3. Du kannst das auch mal mit dem Satz von Cayley - Hamilton versuchen
FRED
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Hy Fred
Ja genau das stimmt, so erhalte ich auch die richtige Lösung....
Danke vielmals für deine Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Mi 23.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Mit dem Satz von Cayley-Hamilton sieht man:
[mm] $A^2=-2A-E$
[/mm]
Induktiv ergibt sich dann:
[mm] $A^n= (-1)^n(nA+(n-1)E) [/mm] $ (n [mm] \in \IN)
[/mm]
Es folgt: [mm] $A^{20}= \pmat{ -39 & -80 \\ 20 & 41 }. [/mm] $
FRED
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