Berechnung räuml. Bewegung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Im [mm] \IR^3 [/mm] sind Kugelkoordinaten gegeben durch
[mm] x=r*sin(\alpha)cos(\beta)
[/mm]
[mm] y=r*sin(\alpha)sin(\beta)
[/mm]
[mm] z=r*cos(\alpha)
[/mm]
Die Einheitsvektoren definieren wir wie folgt
[mm] e_r=\vektor{sin(\alpha)cos(\beta) \\ sin(\alpha)sin(\beta) \\ cos(\alpha)}
[/mm]
[mm] e_\alpha=\vektor{cos(\alpha)cos(\beta) \\ cos(\alpha)sin(\beta) \\ -sin(\alpha)}
[/mm]
[mm] e_\beta=\vektor{-sin(\beta) \\ cos(\beta) \\ 0}
[/mm]
a) Berechnen Sie für eine räumliche Bewegung
[mm] \vec{r}=\vec{r}(t)=r(t)e_r
[/mm]
die Größen [mm] \vec{v}=\vec{r}'(t)=\bruch{\partial\vec{r}}{\partial t} [/mm] und [mm] \vec{a}=\vec{r}''(t)=\bruch{\partial^2 \vec{r}}{\partial t^2}
[/mm]
b) Können Sie mit dem Resultat die Westabweichung der Passatwinde erklären? Beachten Sie: Entlang der Bewegung hängt
[mm] e_r=\vektor{sin(\alpha)(t)cos(\beta)(t) \\ sin(\alpha)(t)sin(\beta)(t) \\ cos(\alpha)(t)}
[/mm]
von t ab. Sie müssen [mm] \bruch{\partial e_r}{\partial t} [/mm] berechnen, für die anderen Einheitsvektoren ebenso.
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Hallo,
ich find keinen ansatz, kann mir jemand helfen und mir zeigen wie ich auf [mm] \vec{r}=\vec{r}(t)=r(t)e_r [/mm] komme?
Gruß Leipziger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Da drauf sollst du nicht kommen, sondern es benutzen, um die Ableitungen zu berechnen.
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$ [mm] e_r=\vektor{sin(\alpha)cos(\beta) \\ sin(\alpha)sin(\beta) \\ cos(\alpha)} [/mm] $
ist das [mm] \vec{r}(t) [/mm] ? und ist dann [mm] \vec{r} '(t)=\vektor{cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta) \\ cos(\alpha)sin(\beta) + sin(\alpha)cos(\beta) \\ -sin(\alpha)}??
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das ist nicht ganz korrekt. Du musst beachten, dass dein Vektor r ja als [mm] $r*\vec{e_r}$ [/mm] definiert ist. Daher musst du auch das r mit ableiten. Du hast allerdings auch beim Ableiten deines Einheitsvektors die inneren Ableitungen vergessen, da ja [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] Zeitabhängig sind. D.h. du musst, da du ja das totale Differential berechnest, die Kettenregel anwenden.
Wenn du das durchziehst, wirst du dann bei der zweiten Ableitung von r nach der Zeit (also der Beschelunigung) ein paar schöne Terme stehen haben, wobei man einen (nämlich die Coriolis-Beschleunigung) hernehmen kann, um die Westwinde zu erklären. Näheres dazu zB ![[]](/images/popup.gif) hier.
LG
kroni
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Also ich habe das jetzt wie Al schon geschrieben mit dem normalen weg versucht, aber da kommt man auf ausdrücke, die es einem extrem schwierig machen, die 2. ableitung zu bilden!
Hat jemand vllt eine Idee, wie man die Ableitungen einfacher bilden kann? Wäre sehr dankbar!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich persönlich kenne keine Möglichkeit, die Ableitungen einfacher zu berechnen. Man kann sich das aber etwas abkürzen, indem man irgendwann schonmal die Einheitsvektoren abgeleitet hat, und die Beziehungen dazwischen kennt, aber ich befürchte, dass du einfach so weit vereinfachen musst, wies geht, und dann weiter ableiten.
Ich meine mich daran zu erinnern, dass sich teilweise auch was raushebt...Sowas wie [mm] $sin^2+cos^2=1$ [/mm] hilft oft.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Leipziger |
Dank dir, dann werd ich das nun mal in Angriff nehmen.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 23.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Im [mm]\IR^3[/mm] sind Kugelkoordinaten gegeben durch
> [mm]x=r*sin(\alpha)cos(\beta)[/mm]
> [mm]y=r*sin(\alpha)sin(\beta)[/mm]
> [mm]z=r*cos(\alpha)[/mm]
>
> Die Einheitsvektoren definieren wir wie folgt
> [mm]e_r=\vektor{sin(\alpha)cos(\beta) \\ sin(\alpha)sin(\beta) \\ cos(\alpha)}[/mm]
>
> [mm]e_\alpha=\vektor{cos(\alpha)cos(\beta) \\ cos(\alpha)sin(\beta) \\ -sin(\alpha)}[/mm]
>
> [mm]e_\beta=\vektor{-sin(\beta) \\ cos(\beta) \\ 0}[/mm]
>
> a) Berechnen Sie für eine räumliche Bewegung
> [mm]\vec{r}=\vec{r}(t)=r(t)e_r[/mm]
>
> die Größen
> [mm]\vec{v}=\vec{r}\ '(t)=\bruch{\partial\vec{r}}{\partial t}[/mm] und
> [mm]\vec{a}=\vec{r}\ ''(t)=\bruch{\partial^2 \vec{r}}{\partial t^2}[/mm]
>
Wie Merle23 schon bemerkt hat, soll man die Radialbewegung r(t)
einfach als gegebene (zweimal differenzierbare) Funktion voraus-
setzen.
Dann hätten wir also:
[mm]\vec{r}(t)=r(t)*\vec{e}_r=r(t)*\vektor{sin(\alpha)cos(\beta) \\ sin(\alpha)sin(\beta) \\ cos(\alpha)}[/mm]
Falls nun [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] wirklich konstant bleiben sollen
(ich sehe keinen Grund, aus der vorliegenden Aufgabenstellung
etwas anderes herauszulesen), so ist der Vektor
[mm] \vec{r}_0=\vektor{sin(\alpha)cos(\beta) \\ sin(\alpha)sin(\beta) \\ cos(\alpha)}
[/mm]
konstant, und wir können schreiben:
[mm]\vec{r}(t)=r(t)*\vec{e}_r=r(t)*\vec{r}_0[/mm]
Dann wäre einfach:
[mm]\vec{v}=\vec{r}\ '(t)=\bruch{\partial\vec{r}}{\partial t}=r'(t)*\vec{r}_0[/mm]
und
[mm]\vec{a}=\vec{r}\ ''(t)=\bruch{\partial^2 \vec{r}}{\partial t^2}=r''(t)*\vec{r}_0[/mm]
Dies scheint nun alles etwas gar einfach, und ich habe gewisse Zweifel,
ob es wirklich um eine rein radiale Bewegung, unabhängig von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta
[/mm]
gehen sollte.
Ist also die Aufgabenstellung wirklich genau wiedergegeben ?
Die nachfolgende Teilaufgabe mit dem Passatwind (und Coriolis-Kraft)
macht nämlich im bisher betrachteten Kontext kaum Sinn !
Gruß al-Chw.
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Habe oben noch mal den Link der Originalaufgabe 3) gepostet.
Ok, dass mit r(t) ist dann ja einleuchtend, aber du hast recht, irgendwie macht die aufgabe dann wenig sinn und sieht sehr simpel aus - obwohl sie als "schwierig" durch das * im aufgabenblatt deklariert ist. Sicher, dass man die aufgabe so lösen sollte?
Gruß Leipziger
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Auf dem Aufgabenblatt wird unten darauf hingewiesen,
dass die Winkel [mm] \vartheta [/mm] und [mm] \varphi [/mm] von t abhängig sind !
(ich würde eigentlich auch vorschlagen, bei diesen
Bezeichnungen, in TeX: [mm] \backslash{vartheta} [/mm] , [mm] \backslash{varphi} [/mm] zu bleiben
und nicht [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] zu nehmen)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Leipziger |
tut mir leid, dass hatte ich übersehn. und hatte leider theta sowie phi nicht gefunden, sonst hätte ich auch diese benutzt.
habe nach ableitungen in kugelkoordinaten gesucht und nur
das gefunden. da in der aufgabe hier aber alles von t abhängt, weiß ich damit nichts anzufangen. und den weg du probiert hast, der müsste ja auch rein theoretisch auch zum ziel führen :P auch wenn das lange dauern wird :)
wenn du vllt eine seite hast, die mir hilft, wäre ich sehr dankbar!
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> Dies scheint nun alles etwas gar einfach, und ich habe
> gewisse Zweifel, ob es wirklich um eine rein radiale Bewegung,
> unabhängig von [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] gehen sollte.
> Ist also die Aufgabenstellung wirklich genau wiedergegeben ?
>
> Die nachfolgende Teilaufgabe mit dem Passatwind (Stichwort
> Coriolis-"Kraft") macht nämlich im bisher betrachteten Kontext kaum Sinn !
>
> Gruß al-Chw.
Ich beantworte ausnahmsweise meine eigene Frage.
Also: was hätte gemeint sein können ausser der fast zu
einfachen Situation mit konstanten [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] ?
Natürlich: dass [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] in irgendeiner (zweimal
differenzierbaren) Weise von der Zeit t abhängig sind, also
[mm] \alpha =\alpha(t) [/mm] und [mm] \beta=\beta(t)
[/mm]
und deshalb:
[mm]\vec{r}(t)=r(t)*\vec{e}_r\red{(t)}=r(t)*\vektor{sin(\alpha(t))cos(\beta(t)) \\ sin(\alpha(t))sin(\beta(t)) \\ cos(\alpha(t))}[/mm]
damit wird nun aber das Ableiten erheblich mühsamer; man
muss Produktregel und Kettenregel ausgiebig anwenden.
Nehmen wir uns nur einmal die erste Ableitung der ersten
Komponente von [mm] \vec{r}(t) [/mm] vor:
[mm] \vec{r}(t)_1 [/mm] = [mm] r(t)*sin(\alpha(t))*cos(\beta(t))
[/mm]
abgeleitet gibt dies (nach Dreier-Produktregel):
[mm] \vec{v}(t)_1 [/mm] = [mm] r'(t)*sin(\alpha(t))*cos(\beta(t))+r(t)*[sin(\alpha(t))]'*cos(\beta(t))+r(t)*sin(\alpha(t))*[cos(\beta(t))]'
[/mm]
und Kettenregel:
= [mm] r'(t)*sin(\alpha(t))*cos(\beta(t))+r(t)*[cos(\alpha(t))*\alpha'(t)]*cos(\beta(t))+r(t)*sin(\alpha(t))*[-sin(\beta(t))*\beta'(t)]
[/mm]
sieht ja ganz nett aus ...  und die zweiten
Ableitungen werden wundervolle Gebilde sein !
aber hier wäre vielleicht der Punkt erreicht, wo man sich
mal kurz am Hirn kratzt und fragt, ob es nicht einen etwas
angenehmeren Weg gäbe... (Ableitungen in Kugelkoordinaten ?)
schönen Gruß
Al-Chwarizmi
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