Berechnung mit Hilfe der Lagra < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Di 14.06.2011 | | Autor: | Mathe1 |
| Aufgabe | Betrachten Sie das Problem der Maximierung von [mm] e^x+y+x [/mm] unter den Nebenbedingungen x+y+z=1 und [mm] x^2+y^2+z^2=1
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Lösung des Problems mithilfe der Lagrange-Methode |
Hallo!
Ich habe eine Problem mit dieser Aufgabe. Weiß zwar wie ich beginnen muss,doch das drei unbekannte Variablen vorliegen verwirrt mich irgendwie. Wäre toll,wenn mir jemand mit einem Lösungsansatz weiterhelfen könnte.
Danke schon mal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Mathe1,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Betrachten Sie das Problem der Maximierung von [mm]e^x+y+x[/mm]
> unter den Nebenbedingungen x+y+z=1 und [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm]
> a) Bestimmen Sie die Lösung des Problems mithilfe der
> Lagrange-Methode
> Hallo!
> Ich habe eine Problem mit dieser Aufgabe. Weiß zwar wie
> ich beginnen muss,doch das drei unbekannte Variablen
> vorliegen verwirrt mich irgendwie. Wäre toll,wenn mir
> jemand mit einem Lösungsansatz weiterhelfen könnte.
Dann poste doch Deine bisherigen Rechenschritte.
> Danke schon mal.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Mathe1 |
Ok,also ich habe ja:
Max [mm] e^x+y+z
[/mm]
NB: x+y+z=1 & [mm] x^2+y^2+z^2=1
[/mm]
Lagrangefunktion aufstellen:
L= [mm] e^x+y+z-A1(x+y+z-1)-A2(x^2+y^2+z^2-1)
[/mm]
A= Lamda
Partielle Ableitungen:
nach x= [mm] e^x-A1-2A2x=0 [/mm] (I)
nach y= 1-A1-2A2y = 0 (II)
nach z= 1-A1-2A2z =0 (III)
nach A1= -x-y-z+1=0 (IV)
nach A2 = [mm] -x^2-y^2-z^2+1=0 [/mm] (V)
Nun stellt sich mir aber die Frage, wie ich nun die einzelnen Variablen errechnen kann. Meine Überlegung wäre (I) und (II) nach A2 umzustellen,dann gleichzusetzen und (III) nach A1 umzustellen und dann in (I) und (II) einzusetzen. Aber macht das wirklich sinn?
|
|
|
| |
|
Hallo Mathe1,
> Ok,also ich habe ja:
>
> Max [mm]e^x+y+z[/mm]
> NB: x+y+z=1 & [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm]
>
> Lagrangefunktion aufstellen:
> L= [mm]e^x+y+z-A1(x+y+z-1)-A2(x^2+y^2+z^2-1)[/mm]
> A= Lamda
>
> Partielle Ableitungen:
> nach x= [mm]e^x-A1-2A2x=0[/mm] (I)
> nach y= 1-A1-2A2y = 0 (II)
> nach z= 1-A1-2A2z =0 (III)
> nach A1= -x-y-z+1=0 (IV)
> nach A2 = [mm]-x^2-y^2-z^2+1=0[/mm] (V)
>
> Nun stellt sich mir aber die Frage, wie ich nun die
> einzelnen Variablen errechnen kann. Meine Überlegung wäre
> (I) und (II) nach A2 umzustellen,dann gleichzusetzen und
> (III) nach A1 umzustellen und dann in (I) und (II)
> einzusetzen. Aber macht das wirklich sinn?
Das macht nicht wirklich Sinn.
Betrachte doch die Gleichung (II) und (III).
Durch Gleichsetzen dieser beiden Gleichungen erhältst Du 2 Fälle,
die Du dann entsprechend mit den übrigen GLeichungen weiterbehandeln musst.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Mathe1 |
Mmmmhh, ok ich habe die beiden Gleichungen nun gleichgesetzt und dann nach y aufgelöst.wenn ich richtig gerechnet habe, komme ich dann auf y=z
Das habe ich dann in (IV) für y eingesetzt und dann nach x aufgelöst und dann in (IV) für x und y jeweils eingesetzt,so dass ich am Ende zu einer p,q-Formel gelange und dann z ausrechnen kann.
und da y=z habe ich auch die werte für y.
Hast du dir den Weg so auch gedacht?
Muss ich nun mit allen Werten x errechnen?
|
|
|
| |
|
Hallo Mathe1,
> Mmmmhh, ok ich habe die beiden Gleichungen nun
> gleichgesetzt und dann nach y aufgelöst.wenn ich richtig
> gerechnet habe, komme ich dann auf y=z
> Das habe ich dann in (IV) für y eingesetzt und dann nach
> x aufgelöst und dann in (IV) für x und y jeweils
Hier meinst Du wohl "und dann in (V)".
> eingesetzt,so dass ich am Ende zu einer p,q-Formel gelange
> und dann z ausrechnen kann.
> und da y=z habe ich auch die werte für y.
> Hast du dir den Weg so auch gedacht?
>
> Muss ich nun mit allen Werten x errechnen?
Nun, Du hast Doch eine Lösungsformel für x in Abhängigkeit von z.
Zu bestimmen sind hier noch die Werte für A1 und A2.
Es gibt auch noch den Fall, daß A2=0.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Mathe1 |
Cool,ich glaube nun hab ichs hinbekommen.
Vielen Dank
|
|
|
|
