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Forum "Integralrechnung" - Berechnung eines Integrals
Berechnung eines Integrals < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Berechnung eines Integrals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Do 13.11.2008
Autor: Marius90

Hallo!

Ich komme bei der folgenden Aufgabe einfach auf keinen Grünen Zweig. Integration durch Substitution hat nicht funktioniert, deshalb wollte ich es durch ausprobieren hinbekommen, aber das funktioniert auch nicht.

Folgendes Integral soll berechnet werden:

[mm] \integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^{2}}dx} [/mm]

Ich habe die Frage sonst nirgends gestellt.

        
Bezug
Berechnung eines Integrals: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Do 13.11.2008
Autor: Roadrunner

Hallo Marius!


Substituiere hier:  $x \ := \ [mm] \sin(u)$ [/mm] .


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
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Berechnung eines Integrals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 Do 13.11.2008
Autor: Marius90

Hallo, danke erstmal. Jetzt bin ich schon ein Stück weiter, aber noch nicht am Ende.

Ich bin jetzt hier:

[mm] \integral_{sin(-1)}^{sin(1)}{cos^{2}(z)dz} [/mm]

Wie muss ich nun hier integrieren? Von cos ist die Stammfunktion sin, aber von [mm] cos^{2}? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Berechnung eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Do 13.11.2008
Autor: MathePower

Hallo Marius90,

> Hallo, danke erstmal. Jetzt bin ich schon ein Stück weiter,
> aber noch nicht am Ende.
>  
> Ich bin jetzt hier:
>  
> [mm]\integral_{sin(-1)}^{sin(1)}{cos^{2}(z)dz}[/mm]


Die Grenzen stimmen nicht:

[mm]-1=\sin\left(z_{1}\right) \Rightarrow z_{1}= \ \dots[/mm]

[mm]1=\sin\left(z_{2}\right) \Rightarrow z_{2}= \ \dots[/mm]

[mm]\Rightarrow \integral_{z:{1}}^{z_{2}}{cos^{2}(z)dz}[/mm]


>  
> Wie muss ich nun hier integrieren? Von cos ist die
> Stammfunktion sin, aber von [mm]cos^{2}?[/mm]  


Die Stammfunktion bestimmst Du mit Hilfe der partiellen Integration
oder Du verwendest ein geeignetes Additionstherorem

Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Berechnung eines Integrals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:19 Do 13.11.2008
Autor: Marius90

Oh, ja die Grenzen waren falsch.

Das mit der partiellen Integration hab ich mir auch schon gedacht, nur das haut irgendwie nicht hin:

[mm] \integral_{}^{}{cos^{2}(z)dz} [/mm]

u(x)=cos(z) und v'(x)=cos(z)
u'(x)=-sin(z) und v(x)=sin(z)

[mm] cos(z)\*sin(z)+\integral_{}^{}{sin^{2}(z)dz} [/mm]

Dann bin ich nicht viel weiter...

Bezug
                                        
Bezug
Berechnung eines Integrals: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:31 Do 13.11.2008
Autor: fred97

Hier stand Unsinn
FRED

Bezug
                                                
Bezug
Berechnung eines Integrals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Do 13.11.2008
Autor: Marius90

Nein, die Formel bei Integration durch Sub. der Integrationsvariablen geht die Formel doch wie folgt:

[mm] \integral_{}^{}{f(x)dx}=\integral_{}^{}{f(g(t))*g'(t)dt} [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Berechnung eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Do 13.11.2008
Autor: fred97

Du hast recht. Ich habe mich gewaltig vertan

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Berechnung eines Integrals: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:41 Do 13.11.2008
Autor: MathePower

Hallo fred97,

> Nicht nur die Grenzen waren falsch, sondern auch der
> Integrand
>  
>
> es war x= sin(z), dann ist [mm]\wurzel{1-x^2}[/mm] = [mm]\wurzel{1- sin^2(z)}[/mm]
> = [mm]\wurzel{cos^2(z)}[/mm] = |cos(z)|


Eine Kleinigkeit hast Du dabei vergessen: [mm]dx = \cos\left(z\right) \ dz[/mm]

Somit stimmt der Integrand.


>  
> FRED


Gruß
MathePower

Bezug
                                                        
Bezug
Berechnung eines Integrals: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:42 Do 13.11.2008
Autor: fred97


> Hallo fred97,
>  
> > Nicht nur die Grenzen waren falsch, sondern auch der
> > Integrand
>  >  
> >
> > es war x= sin(z), dann ist [mm]\wurzel{1-x^2}[/mm] = [mm]\wurzel{1- sin^2(z)}[/mm]
> > = [mm]\wurzel{cos^2(z)}[/mm] = |cos(z)|
>  
>
> Eine Kleinigkeit hast Du dabei vergessen: [mm]dx = \cos\left(z\right) \ dz[/mm]
>  
> Somit stimmt der Integrand.
>  
>
> >  

> > FRED
>
>
> Gruß
>  MathePower


Ich habs schon korrigiert, bzw. meinen Einwand zurückgenommen

FRED

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