Berechnung e. Doppelintegrals < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Das Gebiet G sei durch die Ungleichungen x [mm] \ge [/mm] 0, y [mm] \ge [/mm] 0, x²+y² [mm] \le [/mm] R² bestimmt und es sei f(x,y)=x²+y². Man berechne [mm] G\integral\integral{f dG}. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dies ist meine zweite Aufgabe zum Thema Doppelintegrale und gleich die Erste bei der ich leider nichteinmal den Lösungsweg nachvollziehen kann.
Meine Frage ist nun: Wie komme ich von der Angabe zu diesem Ansatz.
G: 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] R
0 [mm] \le [/mm] φ [mm] \le \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Die beiden Nullen auf der jeweils linken Seite werden wohl von diesem Teil (x [mm] \ge [/mm] 0, y [mm] \ge [/mm] 0,) der Angabe kommen. Aber wie auf das R bzw. [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] geschlossen werden kann ist mir schleierhaft. Vor allem da meine Angaben in x und y ausgedrückt sind und in dem Ansatz dann r und φ auftauchen (hat wohl irgendwas mit Polarkoordinaten zutun, aber?).
Die darauf aufbauende Berechnung der Integrale ist mir dann wieder klar.
Also wenn mir jemand bei dem Transfer auf G: helfen könnte wär ich echt dankabr.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Do 23.03.2006 | | Autor: | self |
Ich hoffe ich kann dir im folgenden ein paar Verständnissansätze liefern.
x²+y² $ [mm] \le [/mm] $ R² ist ja die Gleichung einer Kreisscheibe vom Radius R um den Ursprung in [mm] \IR^2 [/mm] Mit der zusätzlichen Bedigung x $ [mm] \ge [/mm] $ 0, y $ [mm] \ge [/mm] $ 0 besteht das Gebiet G also aus dem Viertelkreis im ersten Quadranten des Koordinatensystems.
x2 Achse
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/|\ <-- das Stück
--+---- x1 Achse
[mm] \|/
[/mm]
Bekanntlich kannst du den Kreis durch Polarkoordinaten parametrisieren. φ gibt dann den Winkel zw. dem Ortsvektor eines Punktes auf der Kreisscheibe an. Für das genannte Viertel läuft φ genau von 0 bis pi/2 (Vollkreis ist bekanntlich 2*pi) und r eben von 0 bis R.
Du kannst also das ursprüngliche Integral auf ein verschachteltes über r und φ transformieren.
Wieso da jetzt bei deinem Integral noch ein G davor steht verstehe ich auch nicht so ganz?
Grüße, Alex
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Vielen Dank für die schnelle und hilfreiche Antwort.
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