Berechnung des Wegintegrals < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:56 Mo 10.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
| Aufgabe | Sei
B = [mm] \{x \in \IR^{2}| |x| \le 2, x_2 > 0, x_1^{2}+(x_2-1)^{2} \ge1 \}
[/mm]
Berechne das Integral [mm] \integral_{\partial B}{A(x) dx} [/mm] für das Vektorfeld
A(x) = [mm] \vektor{x_2^{2} \\ 0} (\partial [/mm] B positiv orientiert), einmal direkt als Wegintegral und einmal mit dem Satz von Green über ein Flächenintegral |
Hallo zusammen,
ich bin bei der obigen Aufgabe dran, weiss aber leider nicht wie ich da anfangen soll. Kann mir da vielleicht jemand einen Tipp sagen wie ich da rangehen könnte.
Vielen vielen Dank im vorraus!!
Vg Exel84
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei
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> B = [mm]\{x \in \IR^{2}|\ |x| \le 2, x_2 > 0, x_1^{2}+(x_2-1)^{2} \ge1 \}[/mm]
>
> Berechne das Integral [mm]\integral_{\partial B}{A(x) dx}[/mm] für
> das Vektorfeld
> A(x) = [mm]\vektor{x_2^{2} \\ 0} (\partial[/mm] B positiv
> orientiert), einmal direkt als Wegintegral und einmal mit
> dem Satz von Green über ein Flächenintegral
> ich bin bei der obigen Aufgabe dran, weiss aber leider
> nicht wie ich da anfangen soll. Kann mir da vielleicht
> jemand einen Tipp sagen wie ich da rangehen könnte.
Hallo Exel84
Als Tipps zum Start möchte ich empfehlen:
1.) Ersetze die Indexvariablen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] durch x und y .
Das erleichtert die Übersicht und ist nicht so lästig
zum Schreiben
2.) Erstelle eine Zeichnung des Gebietes B , indem du
die Ungleichungen (zuerst die dahinter steckenden
Gleichungen) grafisch darstellst.
3.) Beschreibe die Randkurve [mm] $\partial{B}$ [/mm] durch eine
Parametrisierung. Dazu zerlegst du sie in ein paar
Teilstrecken bzw. -kurven.
4.) Damit solltest du in der Lage sein, das Wegintegral
hinzuschreiben. Dabei ist wichtig, das Differential,
das ich dann nicht als dx bezeichnen würde, sondern
z.B. als $\ [mm] d\vec{r}$
[/mm]
Soweit mal zur Berechnung des Wegintegrals.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Mo 10.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
ich bin jetzt deinem Rat gefolgt und habe [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] umbenennt nach x und y. Die Ungleichungen habe ich auch gelöst:
Habe das so gelöst:
[mm] \wurzel{x^2 + y^2} \le [/mm] 2 / beide Seiten quadr.
= [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 4
daraus folgt: [mm] x^2 \le 4-y^2 [/mm] und [mm] y^2 \le 4-x^2
[/mm]
bei der anderen Ungleichung habe ich [mm] x^2= 4-y^2 [/mm] eingesetzt und es kommt raus:
y [mm] \ge [/mm] 2
x = 0
Stimmt das so??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Mo 10.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> ich bin jetzt deinem Rat gefolgt und habe [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm]
> umbenennt nach x und y. Die Ungleichungen habe ich auch
> gelöst:
>
> Habe das so gelöst:
>
> [mm]\wurzel{x^2 + y^2} \le[/mm] 2 / beide Seiten quadr.
>
> = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 \le[/mm] 4
>
> daraus folgt: [mm]x^2 \le 4-y^2[/mm] und [mm]y^2 \le 4-x^2[/mm]
>
> bei der anderen Ungleichung habe ich [mm]x^2= 4-y^2[/mm] eingesetzt
> und es kommt raus:
>
> y [mm]\ge[/mm] 2
>
> x = 0
>
> Stimmt das so??
Nein. Wir malen mal.
Im x-y - Koordinatensystem zeichnest Du einen Kreis um (0,0) mit Radius 2.
Alles was in diesem Kreis liegt schraffiere rot.
Alles rotschraffierte, das in den beiden ersten Quadranten liegt, schraffiere zusätzlivh gelb.
Zeichne den Kreis um (1,0)
Edit: um (0,1)
mit Radius 1. Schraffiere alles , was außerhalb dieses Kreises liegt grün (einschließlich Kreislinie).
Alles, was nun rot und gelb und grün ist =B.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mo 10.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
vielen Dank :)
also ist mein B der positive Halbkreis der großen Kugel und von der kleinen Kugel der Rand in der positiven x-y-Ebene? Und die Fläche muss ich bestimmen?
Ich kriege das nicht mit der Parametrisierung hin.
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> also ist mein B der positive Halbkreis der großen Kugel ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> und von der kleinen Kugel der Rand in der positiven
> x-y-Ebene? Und die Fläche muss ich bestimmen?
"Kugeln" sehe ich da keine ... , alles spielt sich in [mm] \IR^2 [/mm] ab,
also in der Ebene.
Das Gebiet B erhält man, wenn man aus der oberen
Hälfte (y>0) der ursprünglichen Kreisscheibe $\ [mm] (x^2+y^2\le4)$
[/mm]
noch jene Punkte entfernt, die innerhalb des Kreises mit
M(0,1) und r=1 liegen. Man kann sehen, dass dieser
zweite Kreis gerade der Inkreis des vorherigen noch
verbliebenen Halbkreisgebietes ist.
Das Gebiet B, das übrigbleibt, erinnert an das Bild
einer (partiellen) Sonnenfinsternis bei Sonnenaufgang
im Fall, dass der Monddurchmesser am Himmel nur halb
so groß wie der Sonnendurchmesser erschiene ...
Nun kann man sehen, wie man den Rand von B
unterteilen muss:
1.) die Basisstrecke auf der x-Achse von (-2,0) zu (+2,0)
2.) den Viertelskreis im ersten Quadranten von (+2,0) zu (0,+2)
3.) den gesamten inneren Kreis, einmal komplett im
negativen Drehsinn (bzw. Uhrzeigersinn) umlaufen
4.) den Viertelskreis im ersten Quadranten von (0,+2) zu (-2,0)
Dabei darf man dann für die Integration die Viertelkreise
(2.) und (4.) zum Halbkreis von (+2,0) zu (-2,0) zusammenfassen.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Di 11.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
hier mal mein Weg zur Lösung:
Parametrisierung:
[mm] w1=\vektor{-2+4t \\ 0}.
[/mm]
[mm] w2=\vektor{cos(t) \\ sin(t)}, t\in[0,\bruch{pi}{2}]
[/mm]
[mm] w3=\vektor{cos(t) \\ sin(t)}, t\in[0,2pi]
[/mm]
[mm] w4=\vektor{cos(t) \\ sin(t)}, t\in[0,\bruch{pi}{2}
[/mm]
Ableitung: [mm] \vektor{-sin(t) \\ cos(t)}
[/mm]
w1 ist 0, damit brauche ich ihn nicht zu beachten.
w2 und w4 kann ich zusammenfassen => [mm] \vektor{cos(t) \\ sin(t)}, t\in[0,pi]
[/mm]
w3 bleibt gleich
gegeben:
[mm] A(x)=\vektor{-y^{2} \\ 0}
[/mm]
damit:
A(x)= [mm] \integral_{0}^{pi}{-sin^{2}(t)*\vektor{-sin(t) \\ cos(t)}} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2pi}{-sin^{2}(t)*\vektor{-sin(t) \\ cos(t)}}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{pi}{-sin^{3}(t)+sin^{2}(t)*cos(t)} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2pi}{-sin^{3}(t)+sin^{2}(t)*cos(t)}
[/mm]
= [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
habe ich so richtig gerechnet?
Vg Exel84
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Hallo Exel84
> hier mal mein Weg zur Lösung:
>
> Parametrisierung:
>
> [mm]w1=\vektor{-2+4t \\ 0}.[/mm] (Intervall für t ?)
>
> [mm]w2=\vektor{cos(t) \\ sin(t)}, t\in[0,\bruch{pi}{2}][/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Kreisbogen hat den Radius 2 !
> [mm]w3=\vektor{cos(t) \\ sin(t)}, t\in[0,2pi][/mm]
Beachte, dass der Kreismittelpunkt bei (0,1) liegt !
Und der Kreis soll im Uhrzeigersinn durchlaufen werden
(ist dir auch klar, warum ?).
> [mm]w4=\vektor{cos(t) \\ sin(t)}, t\in[0,\bruch{pi}{2}][/mm]
Falsches Intervall oder falscher Vektor.
Radius ist auch gleich 2 .
> Ableitung: [mm]\vektor{-sin(t) \\ cos(t)}[/mm]
>
> w1 ist 0, damit brauche ich ihn nicht zu beachten.
> w2 und w4 kann ich zusammenfassen => [mm]\vektor{cos(t) \\ sin(t)}, t\in[0,pi][/mm]
>
> w3 bleibt gleich
>
> gegeben:
>
> [mm]A(x)=\vektor{-y^{2} \\ 0}[/mm]
>
> damit:
>
> A(x)= [mm]\integral_{0}^{pi}{-sin^{2}(t)*\vektor{-sin(t) \\ cos(t)}}[/mm]
> - [mm]\integral_{0}^{2pi}{-sin^{2}(t)*\vektor{-sin(t) \\ cos(t)}}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{pi}{-sin^{3}(t)+sin^{2}(t)*cos(t)}[/mm] -
> [mm]\integral_{0}^{2pi}{-sin^{3}(t)+sin^{2}(t)*cos(t)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Di 11.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
ist das weil positiv orientiert ist?
Also da hab ich ja alles falsch gehabt was man falsch machen konnte.
Mit Radius 2 heißt das, dass
[mm] \vektor{2*cosx \\ 2*sinx} [/mm] ist?
Könntest du mir vllt sonst noch helfen wie die Parametrisierung richtig heißt?
Vg Exel84
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> ist das weil positiv orientiert ist?
Das Gebiet B muss im positiven Sinn (also gegen den
Uhrzeigersinn, "links rum") umlaufen werden. Man kann
das auch so sagen, dass ein Käfer, der das Gebiet
umkrabbeln soll, stets mit seinen linken Beinen im
Inneren von B und mit den rechten Beinen im
Äußeren von B gehen soll.
Also die Grundstrecke (auf der x-Achse) von links
(-2,0) nach rechts (+2,0), dem Halbkreis aussen
rum im positiven Sinn (Gegenuhrzeigersinn),
aber den inneren Kreis, da dies ein Innenrand ist,
im Uhrzeigersinn (negativer Drehsinn).
> Mit Radius 2 heißt das, dass
>
> [mm]\vektor{2*cosx \\ 2*sinx}[/mm] ist?
Ja, siehe unten.
> Könntest du mir vllt sonst noch helfen wie die
> Parametrisierung richtig heißt?
> $ [mm] w1=\vektor{-2+4t \\ 0}. [/mm] $ [mm] t\in[0,1]
[/mm]
> $ [mm] w2=\vektor{2*cos(t) \\ 2*sin(t)},\quad t\in[0,\bruch{pi}{2}] [/mm] $
> $ [mm] w3=\vektor{cos(t) \\ 1+sin(t)},\quad t\in[2\,\pi,0] [/mm] $
> $ [mm] w4=\vektor{2*cos(t) \\ 2*sin(t)},\quad t\in[\bruch{pi}{2},\pi] [/mm] $
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Di 11.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
hast du dich nicht bei w3 mit den Grenzen vertan?
ist [mm] t\in [/mm] (0,2pi)? hast du die ausersehen vertauscht?
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$ [mm] w3=\vektor{cos(t) \\ 1+sin(t)},\quad t\in[2\,\pi,0] [/mm] $
> hast du dich nicht bei w3 mit den Grenzen vertan?
Nein !
Du solltest dich mal in das Käferchen hinein versetzen,
das das Gebiet B umlaufen soll. Sein Weg könnte beim
inneren Kreis z.B. im Punkt (0,2) starten, dann jeweils
über den kürzesten Bogen (Viertelkreis) zu (1,1), (0,0),
(-1,1) und wieder zu (0,2). Wenn du magst, kannst du
diesen Rundweg auch so beschreiben:
$ [mm] w3=\vektor{sin(t) \\ 1+cos(t)},\quad t\in[0,2\,\pi] [/mm] $
Da hast du wieder das Intervall von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] , aber
einen anderen Vektor !
Wenn nötig, prüfe das Ganze einfach durch ein paar
kleine Beispielrechnungen mit ein paar Winkeln t nach !
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Di 11.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
vielen Dank für die schnelle Antwort!!
Ich werds mal versuchen
VG Exel84
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Mi 12.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
Ich habe das die Aufgabe jetzt über das Wegintegral hinbekommen. Nun muss ich zeigen, dass das Ergebnis mit dem Satz von Green auch herauskommt.
In der Vorlesung haben wir an einem Beispiel mit dieser Formel gerechnet:
[mm] A=\integral_{B} {d(x_1x_2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\integral_{dB} {\vektor{-y \\ x}dx} [/mm]
Wenn ich das auf meine Aufgabe anwende, dann kommt eig das gleiche raus aber dann ist ja noch der Faktor [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Damit würde ich dann nicht auf dasselbe Ergebnis kommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Mi 12.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe das die Aufgabe jetzt über das Wegintegral
> hinbekommen. Nun muss ich zeigen, dass das Ergebnis mit dem
> Satz von Green auch herauskommt.
> In der Vorlesung haben wir an einem Beispiel mit dieser
> Formel gerechnet:
>
> [mm]A=\integral_{B} {d(x_1x_2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}\integral_{dB} {\vektor{-y \\ x}dx}[/mm]
Sehr schlampig dargestellt ! Da habt Ihr den Inhalt von B ausgerechnet. In obiger Aufgabe sollst Du aber etwas anderes machen !
Schau da mal rein
FRED
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Green
>
> Wenn ich das auf meine Aufgabe anwende, dann kommt eig das
> gleiche raus aber dann ist ja noch der Faktor [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
> Damit würde ich dann nicht auf dasselbe Ergebnis kommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Mi 12.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
Hallo,
ich kriege das einfach nicht hin mit dem Satz von Green. Kann mir da bitte jemand vielleicht einen Ansatz geben?
Vielen Dank im Voraus
Exel84
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> ich kriege das einfach nicht hin mit dem Satz von Green.
> Kann mir da bitte jemand vielleicht einen Ansatz geben?
Hallo Exel84
gehen wir doch von der ![[]](/images/popup.gif) Formulierung des Satzes bei
Wikipedia aus.
Wenn wir das in der Aufgabe vorliegende Kurvenintegral
über die Randkurve [mm] $\partial [/mm] B$ betrachten, so lautet es recht
simpel:
[mm] $\oint_{\partial B}\ \vec A(\vec [/mm] r)\ d [mm] \vec [/mm] r\ =\ [mm] \oint_{\partial B}\ \pmat{y^2\\0}*\pmat{dx\\dy}$
[/mm]
Darauf kann man nun den Satz von Green, wie er bei Wiki
steht, anwenden.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
Hallo,
Ich habe das nach Wikipedia den Satz von Green angewendet, komme auch auf das gleiche Ergebnis wie wenn ich das über das Wegintegral mache. Aber mir fällt auf dass der Weg über Green genauso aussieht wie über Wegintegral. Kann mir da vllt jmd seinen Weg zeigen damit ich sehen kann ob das stimmt? Ich bin mir da total unsicher.
Vg Exel84
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> Hallo,
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> Ich habe das nach Wikipedia den Satz von Green angewendet,
> komme auch auf das gleiche Ergebnis wie wenn ich das über
> das Wegintegral mache. Aber mir fällt auf dass der Weg
> über Green genauso aussieht wie über Wegintegral. Kann
> mir da vllt jmd seinen Weg zeigen damit ich sehen kann ob
> das stimmt? Ich bin mir da total unsicher.
>
> Vg Exel84
Guten Abend,
soweit ich sehe, haben wir von dir noch gar keine bis
zum Schluss durchgeführte Integration gesehen.
Also zeige doch mal bitte wenigstens eine solche vor.
(Wenn der andere Lösungsweg bei dir "gleich" aussieht,
so begnügen wir uns vorerst mal mit einem der Lösungs-
wege. Mach aber dann bitte klar, ob du da mit dem
Kurvenintegral oder mit dem Flächenintegral vorgehst !)
Tatsächlich hat man es bei den beiden Lösungswegen
aber doch mit recht unterschiedlichen Integralen zu tun.
Ein Kurvenintegral und ein Flächenintegral unterscheiden
sich ja eben schon in ihrer Dimension.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
also ich hab das so gemacht:
gegeben:
[mm] B=\{x\in \IR^{2}| |x|\le2, y>0, x^{2}+(y-1)^{2}\ge1}
[/mm]
[mm] A(x)=\vektor{y^{2} \\ 0}
[/mm]
[mm] w2/4=\vektor{2*cos(t) \\ 2*sin(t)} [/mm] von [mm] t\in[0,pi [/mm] ]und
[mm] w3=\vektor{sin(t) \\ 1+cos(t)}, t\in[0,2*pi [/mm] ]
Satz von Green:
[mm] \integral_{dB}{A(r)*dr}
[/mm]
= [mm] \integral_{dB}{\vektor{2*cos(t) \\ 2*sin(t)}}*{\vektor{-2*sin(t) \\ 2*cos(t)}}+\integral_{dB}{\vektor{sin(t) \\ 1+cos(t)}}*\{vektor{cos(t) \\ -sin(t)}}
[/mm]
= [mm] \integral_{dB}{(4*sin(t))^{2} * (-sin(t))}+\integral_{dB}{(1+cos(t))^{2} * (cos(t))}
[/mm]
[mm] =-\bruch{32}{3}+2pi
[/mm]
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> also ich hab das so gemacht:
>
> gegeben:
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> [mm]B=\{x\in \IR^{2}| |x|\le2, y>0, x^{2}+(y-1)^{2}\ge1}[/mm]
>
> [mm]A(x)=\vektor{y^{2} \\ 0}[/mm]
>
> [mm]w2/4=\vektor{2*cos(t) \\ 2*sin(t)}[/mm] von [mm]t\in[0,pi[/mm] ]und
>
> [mm]w3=\vektor{sin(t) \\ 1+cos(t)}, t\in[0,2*pi[/mm] ]
>
> Satz von Green:
>
> [mm]\integral_{dB}{A(r)*dr}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{dB}{\vektor{2*cos(t) \\ 2*sin(t)}}*{\vektor{-2*sin(t) \\ 2*cos(t)}}+\integral_{dB}{\vektor{sin(t) \\ 1+cos(t)}}*\{vektor{cos(t) \\ -sin(t)}}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{dB}{(4*sin(t))^{2} * (-sin(t))}+\integral_{dB}{(1+cos(t))^{2} * (cos(t))}[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{32}{3}+2pi[/mm]
Schön, das Resultat kommt mir bekannt vor. Das
habe ich auch erhalten.
Du hast also das gefragte Kurvenintegral über den
Rand [mm] $\partial [/mm] B $ des gegebenen Gebietes B
direkt als Kurvenintegral berechnet. Die Rechnung
ist richtig, aber den Satz von Green (den du oben
erwähnst) hast du damit natürlich keineswegs
auch wirklich angewandt.
Im vorliegenden Fall führt zwar die Anwendung des
Satzes kaum auf eine einfachere Integration (wie
es oft vorkommt) - aber deine Aufgabe besteht ja
darin, auch den Weg mittels Satz von Green und
durch Berechnung eines Flächenintegrals über B
anstatt des Kurvenintegrals über [mm] $\partial [/mm] B $ zu
beschreiten.
LG , Al-Chw.
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> Zeichne den Kreis um (1,0) mit Radius 1.
> Schraffiere alles, was außerhalb dieses Kreises liegt grün
> (einschließlich Kreislinie).
>
> Alles, was nun rot und gelb und grün ist =B.
Hallo Fred, der zweite Kreis hat den Mittelpunkt (0,1) !
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Mo 10.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Zeichne den Kreis um (1,0) mit Radius 1.
> > Schraffiere alles, was außerhalb dieses Kreises liegt
> grün
> > (einschließlich Kreislinie).
> >
> > Alles, was nun rot und gelb und grün ist =B.
>
>
> Hallo Fred, der zweite Kreis hat den Mittelpunkt (0,1)
Hallo Al, danke fürs Aufpassen. Habs korrigiert.
Gruß FRED
> !
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> LG , Al
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> > > Schraffiere alles, was außerhalb dieses Kreises
> > > liegt, grün (einschließlich Kreislinie).
Da sehe ich noch ein kleines technisches Problem:
Wie schraffiert man eine Linie ?
 Al
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