Berechnung des Integrals < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Flock |
| Aufgabe | | Berechnen Sie: [mm] \integral_{-1}^{1}{e^(-i*k*x)dx}, [/mm] wobei hier x [mm] \in \IR^n, [/mm] i ist die imaginäre Einheit sind |
Hallo, Forum!
Ich habe schon wieder eine Frage, und zwar: Integration im Mehrdimensionalem. Es geht eigentlich um Fouriertransformierte, mein Problem ist aber, das Integral auszurechnen, was herauskommt; in den meisten Beispielen im Internet wird dieser Schritt übersprungen und es steht sofort die Lösung da.
Meine Idee:
Kugelkoordinaten, aber dann ist das Integral nicht mehr elementar auflösbar.
Anwendung des Satzes von Fubini macht mir Schwierigkeiten, die Grenzen richtig anzupassen:
man integriert dann jede Komponente von [mm] 1-\wurzel{a_{1}^2 + ... + a_{n}^2} [/mm] oder so ungefähr, bin mir nicht sicher, aber man dreht sich dann ständig im Kreis und kriegt wieder ein unauflösbares Integral...
Hat jemand vielleicht einen Tipp für mich?
Kann mir jemand das Geheimnis lüften, wann und warum der imaginäre Teil des Integrals verschwindet?
(Ich höre noch Analysis 3, daher darf ich die Sätze aus Funktionentheorie nicht anwenden, falls es solche dafür gibt)
Vielen Dank im Voraus!
Flock
|
|
| |
|
Man kann den Integranden in Real- und Imaginärteil aufspalten und erhält dann zwei "ordinäre" eindimensionale Integrale:
[mm] \int_a^be^{-ikx}dx=\int_a^b\cos kx\,dx-i\int_a^b\sin kx\,dx
[/mm]
Der Imaginärteil wird z.B. 0, wenn a=-b und unter dem Integral eine ungerade Funktion steht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:32 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Flock |
danke für den Hinweis... die Frage war vielleicht falsch gestellt.
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x|>2 \\ 1, & \mbox{für } |x|<2 \end{cases}
[/mm]
ich muss zum Beispiel: [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)*e^{-x} dx} [/mm] berechnen, und wie setze ich jetzt die Grenzen a und b, wenn x [mm] \in \IR^n [/mm] ist? Die e-Funktion ist jetzt im Mehrdimensionalen - das ist mein Problem... der Rest geht dann einfach mit Fubini oder übersehe ich hier eine Koordinatentransformation?
es ist sicherlich falsch, wenn ich a=-2 und b=2 nehme, da es hier um Beträge geht, man muss über die Betragsformel gehen und da hab ich Schwierigkeiten
Danke im Voraus,
Flock
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Sa 10.12.2011 | | Autor: | donquijote |
> danke für den Hinweis... die Frage war vielleicht falsch
> gestellt.
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x|>2 \\ 1, & \mbox{für } |x|<2 \end{cases}[/mm]
>
> ich muss zum Beispiel: [mm]\integral_{a}^{b}{f(x)*e^{-x} dx}[/mm]
> berechnen, und wie setze ich jetzt die Grenzen a und b,
> wenn x [mm]\in \IR^n[/mm] ist? Die e-Funktion ist jetzt im
> Mehrdimensionalen - das ist mein Problem... der Rest geht
> dann einfach mit Fubini oder übersehe ich hier eine
> Koordinatentransformation?
>
> es ist sicherlich falsch, wenn ich a=-2 und b=2 nehme, da
> es hier um Beträge geht, man muss über die Betragsformel
> gehen und da hab ich Schwierigkeiten
>
> Danke im Voraus,
>
> Flock
>
ok, du hast mich mit dem [mm] \int_{-1}^1... [/mm] etwas irritiert, sodass ich das mehrdimensionale nicht richtig wahrgenommen habe, dann wird es natürlich komplizierter.
Wie chrisno schon schrieb, ist die Funktion selbst skalar (komplexwertig), nur musst du über die n-dimensionale Kugel mit Radius 2 integrieren. Da fehlt mir leider momentan auch eine gute Idee, wie man das besonders geschickt machen könnte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 13.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Sa 10.12.2011 | | Autor: | chrisno |
Das Integral liest sich etwas merkwürdig. Im Ausdruck $k [mm] \cdot [/mm] x$ ist das x ein Vektor. Durch die Skalarmultiplikation bleibt aber nur ein Skalar übrig. Das dx hat mit dem x wohl kaum etwas zu tun. Denn das Integral läuft nur über eine Dimension von -1 bis 1. So kann ich da keine mehrdimensionale Integration entdecken, außer den zweien der komplexen Zahlen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 21:40 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Flock |
Hallo, chrisno! Danke für deine Antwort. Wie kommst du jetzt auf einen Skalar? x ist ein Vektor, k ist so eine Variable, die von der Fouriertransformation kommt, bin mir da nicht sicher, ob es jetzt eine Konstante oder ein Vektor sein muss. Die Frage ist dann: gut, wenn x*k ein Skalar ist, was tue ich? wie integriere ich da genau? - ich darf jetzt nicht so tun, als ob ich in Eindimensionalem bin.
Flock
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 13.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
