Berechnung der Koeffizienten < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Mi 24.02.2010 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Gegeben ist die [mm] 2\pi [/mm] - periodische Funktion f(x) durch
[mm] f(x)=\begin{cases} (\pi - x) + cos(2x), & \mbox{für } 0 \le x \le \pi \\ f(-x), & \mbox{für } -\pi \le x \le 0 \end{cases}
[/mm]
Man berechne die Koeffizienten [mm] a_k [/mm] , [mm] b_k [/mm] der zugehörigen Fourierreihe.
Hinweis: Zerlege f(x) = [mm] f_1(x) [/mm] + [mm] f_2(x) [/mm] |
hallo
sitze gerade an dieser blöden aufgabe.
zuerst habe ich versucht die funktion zu zeichnen um einschätzen zu können ob sie gerade oder ungerade ist. da ich auf kein ergebnis gekommen bin habe ich folgende formel verwendet:
[mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*cos(nx) dx}
[/mm]
dann habe ich praktisch f(x) im integral zerlegt(wie sonst auch immer) also einzeln integriert.
Anders weiß ich den hinweis nicht anzuwenden.
[mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{0}{[(\pi + x)-cos(2x)]*cos(nx) dx}+\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{[(\pi-x)+cos(2x)]*cos(nx) dx}=...
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{\pi n^2}(1-(-1)^n)
[/mm]
damit kam ich auf das ergebis:
[mm] a_k=f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{4}{\pi n^2}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
habe ich das richtig verstanden, dann gehe ich bei [mm] b_k [/mm] genauso vor.
oder sollte ich den hinweis irgendwie anders verwenden?
mein problem ist ich schreibe in 2 tagen klausur und habe keine lösung dazu:(
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> Gegeben ist die [mm]2\pi[/mm] - periodische Funktion f(x) durch
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} (\pi - x) + cos(2x), & \mbox{für } 0 \le x \le \pi \\ f(-x), & \mbox{für } -\pi \le x \le 0 \end{cases}[/mm]
>
> Man berechne die Koeffizienten [mm]a_k[/mm] , [mm]b_k[/mm] der zugehörigen
> Fourierreihe.
> Hinweis: Zerlege f(x) = [mm]f_1(x)[/mm] + [mm]f_2(x)[/mm]
> hallo
> sitze gerade an dieser blöden aufgabe.
> zuerst habe ich versucht die funktion zu zeichnen um
> einschätzen zu können ob sie gerade oder ungerade ist. da
> ich auf kein ergebnis gekommen bin habe ich folgende formel
> verwendet:
Hallo,
Du solltest - nicht nur für die Zeichnung, sondern auch für die spätere Integration - nochmal f(-x) aufschreiben. Das ist Dir unten nicht ganz richtig gelungen.
Daß die Funktion gerade ist, sieht man doch schon an der Definition:
für die x, die kleiner als 0 sind, gilt doch f(x)=f(-x).
>
> [mm]a_k[/mm] = [mm]\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*cos(nx) dx}[/mm]
>
> dann habe ich praktisch f(x) im integral zerlegt(wie sonst
> auch immer) also einzeln integriert.
Im Prinzip machst Du das richtig, aber das erste Integral stimmt so nicht, s.o.
> Anders weiß ich den hinweis nicht anzuwenden.
>
> [mm]a_k[/mm] = [mm]\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{0}{[(\pi + x)-cos(2x)]*cos(nx) dx}+\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{[(\pi-x)+cos(2x)]*cos(nx) dx}=...[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2}{\pi n^2}(1-(-1)^n)[/mm]
>
> damit kam ich auf das ergebis:
>
> [mm]a_k=f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{4}{\pi n^2}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> habe ich das richtig verstanden, dann gehe ich bei [mm]b_k[/mm]
> genauso vor.
Wenn Du nicht inzwischen wüßtest, daß die Funktion gerade ist, dann ja.
Gruß v. Angela
> oder sollte ich den hinweis irgendwie anders verwenden?
> mein problem ist ich schreibe in 2 tagen klausur und habe
> keine lösung dazu:(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mi 24.02.2010 | | Autor: | cracker |
dann ist f(-x)= [mm] (\pi [/mm] +x) +cos(-2x)
damit wäre
[mm] a_k=$ \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{0}{[(\pi + x)+cos(-2x)]\cdot{}cos(nx) dx}+\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{[(\pi-x)+cos(2x)]\cdot{}cos(nx) dx}=... [/mm] $
was allerdings nicht viel ändert, da der term mit sinus in der stammfunktion wegfällt, oder?
allerdings ist das ja egal, da ich nun weiß dass f(x) gerade ist.
d.h. [mm] b_k=0
[/mm]
[mm] a_k [/mm] bringt das selbe ergebnis mit dem integral von o bis [mm] \pi.[/mm]
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Hallo,
> dann ist f(-x)= [mm](\pi[/mm] +x) +cos(-2x)
=[mm](\pi[/mm] +x) +cos(-x)
> damit wäre
> [mm]a_k=[/mm] [mm]\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{0}{[(\pi + x)+cos(-2x)]\cdot{}cos(nx) dx}+\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{[(\pi-x)+cos(2x)]\cdot{}cos(nx) dx}=...[/mm]
> was allerdings nicht viel ändert, da der term mit sinus in
> der stammfunktion wegfällt, oder?
Falls wir über dasselbe reden: ja.
>
> allerdings ist das ja egal, da ich nun weiß dass f(x)
> gerade ist.
??? Den Zusammenhang sehe ich jetzt nicht, aber Du hast recht:
> d.h. [mm]b_k=0[/mm]
> [mm]a_k[/mm] bringt das selbe Ergebnis mit dem Integral von o bis
> [mm]\pi.[/mm]
Hatte ich auch.
[mm] a_0 [/mm] brauchst Du noch.
Gruß v .Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mi 24.02.2010 | | Autor: | cracker |
[mm] a_k= \bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{[(\pi - x)+cos(2x)]* cos(nx) dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] [ [mm] \integral_{0}^{\pi}{[(\pi* cos(nx) dx} -\integral_{0}^{\pi}{[x*cos(nx)]dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{\pi}{ cos(2x)*cos(nx) dx} [/mm] ]
= [mm] \bruch{2}{\pi} {[\pi*\bruch{sin(nx)}{n}]_{0}^{\pi} -[\bruch{cos(nx)}{n^2}+ \bruch{x sin(nx)}{n}]_{0}^{\pi} + [\bruch{sin((n+2)x)}{2(n+2)}+ \bruch{sin((n-2)x)}{2(n-2)}]_{0}^{\pi}}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{\pi} [-\bruch{cos(n\pi)}{n^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n^2}]
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{n^2\pi}(1-(-1)^n)
[/mm]
das ist für n gerade=0
für n [mm] ungerade=\bruch{4}{n^2\pi}
[/mm]
für [mm] a_0=\bruch{2}{\pi}[\integral_{0}^{\pi}{[(\pi-x)+cos(2x)]*1 dx}=...=\pi
[/mm]
mit n=2m m [mm] \in \IR
[/mm]
f(x)= [mm] \pi [/mm] + [mm] \summe_{m=1}^{\infty} \bruch{1}{m^2\pi} [/mm] cos(2mx)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Mi 24.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
mir fehlt die 4 im Zähler, und du summierst ja über alle m
im cos stehen nur gerade n, du hast aber für gerade n [mm] a_n=0
[/mm]
aussen stehen alle n
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Do 25.02.2010 | | Autor: | cracker |
hm..
kann ich dann vielleicht für n=2m+1 schreiben, dass wären dann die ungeraden n, oder?
somit:
[mm] f(x)=\pi [/mm] + [mm] \summe_{m=0}^{\infty} \bruch{4}{\pi*(2m+1)^2}*cos((2m+1)x)
[/mm]
oder gibt es eine andere möglichkeit?
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> hm..
> kann ich dann vielleicht für n=2m+1 schreiben, dass
> wären dann die ungeraden n, oder?
> somit:
>
> [mm]f(x)=\pi[/mm] + [mm]\summe_{m=0}^{\infty} \bruch{4}{\pi*(2m+1)^2}*cos((2m+1)x)[/mm]
>
> oder gibt es eine andere möglichkeit?
Hallo,
so ist#s doch wunderbar.
Eine andere möglichkeit brauchst Du nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Do 25.02.2010 | | Autor: | cracker |
Alles klar, super!
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Mi 24.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstens geht aus der DEf doch hervor, dass für die fkt gilt f(-x)=f(x) also sym.
also brauchst du nur die [mm] a_k
[/mm]
wegen der Sym. sind dann die 2 Integrale gleich, du musst also nur das Int von 0 bis [mm] \pi [/mm] verdoppeln.
dein f(-x) ist falsch, denn cos(-2x)=cos(2x)
deinen Wert für [mm] a_k [/mm] hab ich nicht überprüft. [mm] a_0 [/mm] bleibt noch auszurechnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Do 25.02.2010 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Man berechne für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] und 1 [mm] \le [/mm] t [mm] \le \infty [/mm] die Lösung der folgenden Anfangs-Randwertaufgabe:
[mm] t*u_t [/mm] - 4* [mm] u_{xx} [/mm] =0 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi, [/mm] t >1
[mm] u_x(0,t)=0
[/mm]
[mm] u_x(\pi,t)=0
[/mm]
u(x,1)=f(x) 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi
[/mm]
HInweise:
Produktansatz (ähnlich der Wellengleichung)! ES entsteht ein Eigenwertproblem/Randwertproblem für X(x) mit drei Fallunterscheidungen!
Verwenden sie am Schlus ihrer Rechnung das Ergebnis der Teilaufgabe vorher. |
Das wäre nun der zweite Teil der Aufgabe.
Ich dachte zuerst das ich das allein hinbekomme, deshalb hab ichs nicht vorher mit reingeschrieben.
also:
produktansatz: u(x,t)=X(x)*T(t)
[mm] \bruch{T'(t)}{T(t)}=\bruch{4}{t}*\bruch{X''(x)}{X(x)}=K=const.
[/mm]
damit bekomme ich 2 DLG:
T'(t)-K*T(t)=0
(hier ist das erste Problem: ich habe nur den letzten Teil der LÖsung und da steht [mm] \bruch{4}{t} [/mm] mit in der Gleichung:
[mm] T'(t)-\bruch{4}{t}*K*T(t)=0 [/mm]
allerdings verstehe ich nicht wie das da mit hinkommt)
mit [mm] \bruch{4}{t} [/mm] gerechnet ergibt sich für T(t):
[mm] \pm [/mm] T(t)= [mm] e^C [/mm] * [mm] t^{4K}
[/mm]
jetzt brauche ich wieder die Fallunterscheidung [mm] K=-\omega^2 [/mm] für [mm] \omega>0 [/mm] und [mm] \omega<0
[/mm]
[mm] \pm [/mm] T(t)= [mm] e^C*t^{-4\omega^2}
[/mm]
K=0
[mm] \pm T(t)=e^C=const.
[/mm]
mit der Bedingung u(x,1)=f(x) bekomme ich:
[mm] e^C=\pi [/mm] + [mm] \summe_{m=1}^{\infty} \bruch{4}{\pi*(2m+1)} [/mm] cos((2m+1)x)
aber was fange ich damit an.
(ich schreibe nun den beitrag für die 2. DGL)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Do 25.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> produktansatz: u(x,t)=X(x)*T(t)
>
> [mm]\bruch{T'(t)}{T(t)}=\bruch{4}{t}*\bruch{X''(x)}{X(x)}=K=const.[/mm]
hier ligt dein Fehler: du hast auf beiden Seiten eine t Abhängigkeit, dann kannst du nicht =K schreiben, nur wenn auf einer Seite nur F(t) auf der anderen Seite G(x) steht, kann das nur richtitig sein wenn F(t)=G(x)=const.
überleg dir warum man =K schreiben darf!
also
[mm] \bruch{T'(t)*t}{4*T(t)}=\bruch{X''(x)}{X(x)}
[/mm]
jetzt ist links nur von t, rechts nur von x abh. also gilt =k
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Do 25.02.2010 | | Autor: | cracker |
für die zweite DGL ist das ja wie bei der Wellengleichung(diese haben wir in der Vorlesung behandelt).
[mm] X''(x)-\bruch{K}{4}X(x)=0
[/mm]
(hier weiß ich wieder nicht ob das t mit in den bruch muss, das würde es ja nur komplizierter machen)
für [mm] K=-\omega^2 [/mm] für [mm] \omega>0
[/mm]
[mm] X(x)=Acos(\bruch{\omega}{2}x)+Bsin(\bruch{\omega}{2}x)
[/mm]
für K=0
X(x)=ax+b a,b=const
ergibt für K=0 und für [mm] K=-\omega^2 [/mm] für [mm] \omega<0 [/mm] (laut vorlesung) keine lösung
mit den anfangswerten:
[mm] X'(0)=0=-A\bruch{\omega}{2}*sin(\bruch{\omega}{2}*0)+B\bruch{\omega}{2}*cos(\bruch{\omega}{2}*0)=
[/mm]
[mm] =0+B\bruch{\omega}{2}=0
[/mm]
für B=0
[mm] X(x)=Acos(\bruch{\omega}{2}x)
[/mm]
[mm] X'(\pi)=0= -A\bruch{\omega}{2}*sin(\bruch{\omega}{2}*\pi)
[/mm]
für [mm] \bruch{\omega}{2}*\pi=n*\bruch{\pi}{2}
[/mm]
>> [mm] \omega=n
[/mm]
[mm] X(x)=A*cos(n\bruch{x}{2})
[/mm]
die Lösung wäre dann von [mm] u(x,t)=A*cos(n\bruch{x}{2})*e^C*t^4K
[/mm]
mit [mm] e^C=f(x) [/mm] und [mm] K=\pm \omega [/mm] oder K=0
stimmt das so in etwa?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Do 25.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da K ne beliebige Konstante ist, kannst du auch K/4=K schreiben. Bezw, du hast die 4 schon wie im vorigen post bei T versorgt.
Damit X''=K*X
(selbst wenn du mit K/4 arbeitest, solltest du [mm] \omega^2=K/4 [/mm] haben!)
K<0 [mm] X=Acos(\wurzel{K}*x)+Bsin(\wurzel{K}*x)
[/mm]
als allgemeine Lösung.
für k>0
[mm] X=A*e^{\wurzel{K}*x)}+B*e^{-\wurzel{K}*x)}
[/mm]
K=0 hast du richtig
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:08 Do 25.02.2010 | | Autor: | cracker |
hallo
ok, das habe ich jetzt verstanden (denke ich) und bis zu den lösungen T(t) und X(x) aufgelöst:
allerdings habe ich K stehen lassen und nicht als [mm] \omega [/mm] geschrieben, was ja eigentlcih egal ist, oder?
[mm] T(t)=\pm t^{4K}*e^C
[/mm]
mit C=lnf(x)
X(x)= A cos(nx)
für K<0 (K>0 und K=0 bringen keine Lösung)
damit wäre
[mm] u(x,t)=f(x)*t^{4K}*Acos(nx)
[/mm]
wenn ich jetzt aber die Anfangs-und Randbed. einsetze kommt immer 0=0 raus.
ich bekomme also keine aussage für A oder K.
Das kann nicht die endgültige Lösung sein, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Do 25.02.2010 | | Autor: | cracker |
hm, das war quatsch was ich da geschrieben habe:(...
mit X(x) und T(t) kann ich jetzt [mm] u_n(x,t) [/mm] bilden.
das C=lnf(x) habe ich durch die Randbedingung berechnet, was aber denke ich nicht stimmt.
also lasse ich stehen:
[mm] u_n(x,t)= [/mm] T(t)X(x)= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}t^{4n^2}* e^C [/mm] * [mm] A_n [/mm] cos(nx)
mit der Randbed.:
[mm] u_n(x,1)= f(x)=\pi [/mm] + [mm] \summe_{m=1}^{\infty}\bruch{4}{\pi(2m+1)}cos((2m+1)x)= \summe_{n=1}^{\infty}e^C [/mm] * [mm] A_n [/mm] cos(nx)
da [mm] \summe_{n=1}^{\infty}e^C [/mm] * [mm] A_n [/mm] cos(nx) gerade ist, und f(x) ebefalls kann ich den koeffizienten [mm] a_n [/mm] einfach ablesen:
[mm] a_n=\summe_{m=1}^{\infty}\bruch{4}{\pi(2m+1)}= e^C [/mm] * [mm] A_n
[/mm]
damit ist C=0 und [mm] A_n=a_n
[/mm]
allerdings weiß ich nicht wie ich das [mm] \pi [/mm] + ... mit in [mm] u_n(x,t) [/mm] einbringen kann, da ja nur produkte und keine summen abzulesen sind. was mache ich nun mit dem [mm] \pi?
[/mm]
stimmt das jetzt so in die richtung uungefähr?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Do 25.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso hast du die Lösung X(x)=cos(nx)
allgemein hast du doch :
[mm] X(x)=Acos(\wurzel{-K}*x)+B*sin(\wurzel{-K}*x)
[/mm]
durch einsetzen der Randbed. findest du dann, dass die nur für
[mm] \wurzel{-K}=n [/mm] lösbar ist.
dann erst hast du ne Lösung. die hast du aber richtig hingeschrieben.
aber jetzt gehört zu jedem K<0 mit [mm] K^2=n [/mm] n nat. Zahl eine Lösung. [mm] u_K [/mm] bzw [mm] u_n
[/mm]
wieso schreibst du die Lösung als Summe? über alle n?
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Do 25.02.2010 | | Autor: | cracker |
über die randbedingungen bekomme ich B=0 und [mm] K=n^2.
[/mm]
wieso steht auf einmal -K unter der wurzel??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Do 25.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn [mm] K=n^2 [/mm] folgt K>0 ich dachte wir sprechen über K>0
(das andere war mein Fehler, nicht [mm] n=K^2 [/mm] sondern [mm] -K=n^2)
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:37 Do 25.02.2010 | | Autor: | cracker |
hm, ok
wenn ich die lösung nicht als summe schreibe, wie kann ich das dann mit der fourierreihe vergleichen?
bei der wellengleichung haben wir in der vorlesung auch eine reihe über n daraus gemacht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 27.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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