Berechnung der Eigenvektoren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Mo 13.10.2014 | | Autor: | babflab |
| Aufgabe | A= [mm] \pmat{ 3 & -2 \\ 4 & -1 }
[/mm]
Eigenwert, Eigenvektor und Inverse berechnen |
Hallo Matheraum,
da ich bei einer Aufgabe gerade am verzweifeln bin und auch durch googlen nicht weiter gekommen bin, dachte ich mir, ich registriere mich hier und hoffe ihr könnt mir helfen :(((
was ich bereits zu der o.g. Aufgabe berechnet habe ist folgendes:
det A= 5
charakteristisches Polynom: [mm] \lambda [/mm] ^2 [mm] +-2\lambda [/mm] + 5
Eigenwerte: [mm] \lambda [/mm] 1 = 1+2i
[mm] \lambda [/mm] 2 = 1-2i
So, und ab hier beginnt mein Disaster was Eigenvektoren betrifft mit komplexen Eigenwerten....
Eigenvektor: [mm] (A-\lambda [/mm] I) * [mm] \vec{v} [/mm] = 0
Eingesetzt und in Diffglg umgeschrieben, Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] 1
I. 3-(1+2i)x - 2y = 0
II. 4x - (-1(1+2i))y= 0
habe ich falsch angesetzt? wenn doch richtig, wie löse ich dieses Glg auf? Irgendwie bin ich verwirrt durch "i"
Vielen dank!!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> A= [mm]\pmat{ 3 & -2 \\ 4 & -1 }[/mm]
> Eigenwert, Eigenvektor und
> Inverse berechnen
> Hallo Matheraum,
>
> da ich bei einer Aufgabe gerade am verzweifeln bin und auch
> durch googlen nicht weiter gekommen bin, dachte ich mir,
> ich registriere mich hier und hoffe ihr könnt mir helfen
> :(((
>
> was ich bereits zu der o.g. Aufgabe berechnet habe ist
> folgendes:
> det A= 5
> charakteristisches Polynom: [mm]\lambda[/mm] ^2 [mm]+-2\lambda[/mm] +
richitg $p(A) = [mm] \lambda^2 -2\lambda [/mm] +5$
> Eigenwerte: [mm]\lambda[/mm] 1 = 1+2i
> [mm]\lambda[/mm] 2 = 1-2i
auch deine Eigenwerte sind richtig.
>
> So, und ab hier beginnt mein Disaster was Eigenvektoren
> betrifft mit komplexen Eigenwerten....
> Eigenvektor: [mm](A-\lambda[/mm] I) * [mm]\vec{v}[/mm] = 0
> Eingesetzt und in Diffglg umgeschrieben, Eigenvektor zum
> Eigenwert [mm]\lambda[/mm] 1
> I. 3-(1+2i)x - 2y = 0
> II. 4x - (-1(1+2i))y= 0
1) Was meinst du mit Diffglg ? (Differentialgleichung? , wohl kaum oder ?)
2) Löse nun:
[mm] \pmat{ 3-\lambda_{1} & -2 \\ 4 & -1-\lambda_{1} }\pmat{ x_{1} \\ x_{2} } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 }
[/mm]
und
[mm] \pmat{ 3-\lambda_{2} & -2 \\ 4 & -1-\lambda_{2} }\pmat{ x_{1} \\ x_{2} } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 }
[/mm]
>
> habe ich falsch angesetzt? wenn doch richtig, wie löse ich
> dieses Glg auf? Irgendwie bin ich verwirrt durch "i"
>
> Vielen dank!!!!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mo 13.10.2014 | | Autor: | babflab |
Tut mir leid Aber das habe ich ja bereits gemacht und komme nicht weiter
> I. 3-(1+2i)x - 2y = 0
> II. 4x - (-1(1+2i))y= 0
Und für /lambda 2 kann man ja auch einsetzen aber hier ist der Ansatz für mein erstes /lambda 1
Wie geht es dann weiter ?
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> Tut mir leid Aber das habe ich ja bereits gemacht und komme
> nicht weiter
> > I. 3-(1+2i)x - 2y = 0
> > II. 4x - (-1(1+2i))y= 0
> Und für /lambda 2 kann man ja auch einsetzen aber hier ist
> der Ansatz für mein erstes /lambda 1
das GLS ist allerdings nicht ganz richtig.
es muss doch: (2-2i)x in der ersten Zeile und (-2-2i)y in der letzten.
>
> Wie geht es dann weiter ?
Das Gleichungssystem lösen - das ist aber bei zwei Gleichungen und zwei Variablen nicht schwer.
Versuchs mal.
Gruß Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Di 14.10.2014 | | Autor: | babflab |
ja da hast du recht, sollte eigentlich kein Problem sein eine Gleichung zu lösen, aber irgendwo habe ich einen Denkfehler oder sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Ich versuche es jetzt nochmal, aber ich weiss echt nicht wo der Fehler ist, warum ich nicht weiter komme:
- Wenn ich mein [mm] \lambda1 [/mm] einsetze habe ich
I. [mm] (2-2i)x_{1} -2x_{2} [/mm] = 0
II. [mm] 4x_{1} [/mm] + [mm] (-2-2i)x_{2} [/mm] = 0
I. [mm] (2-2i)x_{1} -2x_{2} [/mm] = 0 I+ [mm] 2x_{2}
[/mm]
[mm] (2-2i)x_{1} [/mm] = [mm] 2x_{2} [/mm] I :(2-2i)
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{2x_{2}}{2-2i}
[/mm]
In meiner Lösung steht aber:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2i})x2
[/mm]
Wenn ich nun
II. nach [mm] x_{2} [/mm] umforme:
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] (\bruch{4x_{1}}{-2-2i})
[/mm]
Hab auch andere Ansätze ausprobiert, die 2 Gleichungen so multipliziert und subtrahiert das eine Unbekannte wegfällt aber kam auf außerirdische Gleichungen -.-
ps.:mathe ist meine seeeehr große schwäche :((
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Di 14.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> ja da hast du recht, sollte eigentlich kein Problem sein
> eine Gleichung zu lösen, aber irgendwo habe ich einen
> Denkfehler oder sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht.
>
> Ich versuche es jetzt nochmal, aber ich weiss echt nicht wo
> der Fehler ist, warum ich nicht weiter komme:
>
> - Wenn ich mein [mm]\lambda1[/mm] einsetze habe ich
> I. [mm](2-2i)x_{1} -2x_{2}[/mm] = 0
> II. [mm]4x_{1}[/mm] + [mm](-2-2i)x_{2}[/mm] = 0
>
> I. [mm](2-2i)x_{1} -2x_{2}[/mm] = 0 I+ [mm]2x_{2}[/mm]
> [mm](2-2i)x_{1}[/mm] = [mm]2x_{2}[/mm] I :(2-2i)
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{2x_{2}}{2-2i}[/mm]
Das ist richtig.
>
> In meiner Lösung steht aber:
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm](\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2i})x2[/mm]
Das ist falsch.
>
> Wenn ich nun
> II. nach [mm]x_{2}[/mm] umforme:
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm](\bruch{4x_{1}}{-2-2i})[/mm]
>
> Hab auch andere Ansätze ausprobiert, die 2 Gleichungen so
> multipliziert und subtrahiert das eine Unbekannte wegfällt
> aber kam auf außerirdische Gleichungen -.-
Eigenvektoren sind nicht eindeutig bestimmt !
In obigem Fall ist [mm] x_2=(1-i)x_1. [/mm] Dammit hat jeder Eigenvektor die Gestalt
$ [mm] s*\vektor{1 \\ 1-i}$ [/mm] mit $s [mm] \in \IC \setminus \{0\}$
[/mm]
FRED
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> ps.:mathe ist meine seeeehr große schwäche :((
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Di 14.10.2014 | | Autor: | babflab |
Okay! Ich hatte ja für lambda 1 eingesetzt, ist das dann aber so
Das auch für lambda 2 die selbe aussage gilt, das die Eigenvektoren zum Eigenwert nicht eindeutig bestimmt sind?
Und noch eine Frage, wie bist du auf x2= (1-i)x2 gekommen?
Und wann darf ich sagen, das die Eigenvektoren nicht eindeutig zu bestimmen sind?
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Hallo du hast
(1) [mm] (2-2i)x_1-2x_2=0
[/mm]
(2) [mm] 4x_1+(-2-2i)x_2=0
[/mm]
aus (1) folgt
[mm] (2-2i)x_1=2x_2
[/mm]
[mm] (1-i)x_1=x_2
[/mm]
für [mm] \lambda_1=1+2i [/mm] ist der Eigenvektor [mm] s\cdot{}\vektor{1 \\ 1-i} [/mm] mit s [mm] \in \IC \setminus \{0\} [/mm]
für [mm] \lambda_2=1-2i [/mm] ist der Eigenvektor [mm] s\cdot{}\vektor{1 \\ 1+i} [/mm] mit s [mm] \in \IC \setminus \{0\} [/mm]
auch der Eigenvektor für den Eigenwert [mm] \lambda_2 [/mm] ist nicht eindeutig bestimmt
so ist z.B. [mm] \vektor{1 \\ 1-i} [/mm] EIN Eigenvektor für [mm] \lambda_1 [/mm] für s=1
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Di 14.10.2014 | | Autor: | babflab |
Danke vielmals !
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